Номер 912, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

912. Найти три последовательных члена геометрической прогрессии, если их сумма равна 62, а сумма их десятичных логарифмов равна 3.

Обозначим три искомых последовательных члена геометрической прогрессии как $b_1, b_2, b_3$. Для удобства вычислений представим их в виде $b_1 = \frac{b}{q}$, $b_2 = b$, $b_3 = bq$, где $b$ — средний член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Исходя из условий задачи, составим систему из двух уравнений.

1. Сумма членов равна 62:

$\frac{b}{q} + b + bq = 62$

2. Сумма их десятичных логарифмов (обозначается как $\lg$) равна 3:

$\lg(\frac{b}{q}) + \lg(b) + \lg(bq) = 3$

Начнем решение системы со второго уравнения. Воспользуемся свойством логарифмов, согласно которому сумма логарифмов равна логарифму произведения:

$\lg(\frac{b}{q} \cdot b \cdot bq) = 3$

$\lg(b^3) = 3$

Применим свойство логарифма степени:

$3 \cdot \lg(b) = 3$

$\lg(b) = 1$

По определению десятичного логарифма, это означает, что $b = 10^1 = 10$. Таким образом, мы нашли средний член прогрессии, $b_2 = 10$.

Теперь подставим найденное значение $b=10$ в первое уравнение системы:

$\frac{10}{q} + 10 + 10q = 62$

Перенесем 10 в правую часть уравнения:

$\frac{10}{q} + 10q = 52$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $q$ (знаменатель $q$ не может быть равен нулю):

$10 + 10q^2 = 52q$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$10q^2 - 52q + 10 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$5q^2 - 26q + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576$

$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$

Теперь найдем корни уравнения, которые являются возможными значениями для знаменателя $q$:

$q_1 = \frac{-(-26) + 24}{2 \cdot 5} = \frac{26 + 24}{10} = \frac{50}{10} = 5$

$q_2 = \frac{-(-26) - 24}{2 \cdot 5} = \frac{26 - 24}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Мы получили два возможных значения для знаменателя прогрессии. Для каждого из них найдем тройку членов прогрессии.

Случай 1: $q=5$.
$b_1 = \frac{b}{q} = \frac{10}{5} = 2$
$b_2 = b = 10$
$b_3 = bq = 10 \cdot 5 = 50$
Искомые члены прогрессии: 2, 10, 50.

Случай 2: $q=\frac{1}{5}$.
$b_1 = \frac{b}{q} = \frac{10}{1/5} = 50$
$b_2 = b = 10$
$b_3 = bq = 10 \cdot \frac{1}{5} = 2$
Искомые члены прогрессии: 50, 10, 2.

Оба набора чисел удовлетворяют условиям задачи. В обоих случаях сумма членов равна 62, а сумма их десятичных логарифмов равна 3.

Ответ: 2, 10, 50 или 50, 10, 2.