Номер 914, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (914—915).

914. 1) $5x^{\log_3 2} + 2^{\log_3 x} = 24;$ 2) $x^{3 \lg^3 x - \frac{2}{3} \lg x} = 100\sqrt[3]{10}.

1) $5x^{\log_3 2} + 2^{\log_3 x} = 24$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием существования логарифма: $x > 0$.

Воспользуемся основным свойством логарифмов: $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$. Применим это свойство к первому слагаемому в левой части уравнения:

$x^{\log_3 2} = 2^{\log_3 x}$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:

$5 \cdot (2^{\log_3 x}) + 2^{\log_3 x} = 24$

Сложим подобные слагаемые:

$6 \cdot 2^{\log_3 x} = 24$

Разделим обе части уравнения на 6:

$2^{\log_3 x} = 4$

Представим число 4 как степень двойки: $4 = 2^2$.

$2^{\log_3 x} = 2^2$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$\log_3 x = 2$

По определению логарифма, найдем $x$:

$x = 3^2 = 9$

Полученное значение $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($9>0$), следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: $9$.

2) $x^{3\lg^3 x - \frac{2}{3}\lg x} = 100\sqrt[3]{10}$

ОДЗ уравнения определяется условием существования десятичного логарифма ($\lg x = \log_{10} x$): $x > 0$.

Преобразуем правую часть уравнения:

$100\sqrt[3]{10} = 10^2 \cdot 10^{\frac{1}{3}} = 10^{2+\frac{1}{3}} = 10^{\frac{7}{3}}$

Уравнение принимает вид:

$x^{3\lg^3 x - \frac{2}{3}\lg x} = 10^{\frac{7}{3}}$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

$\lg\left(x^{3\lg^3 x - \frac{2}{3}\lg x}\right) = \lg\left(10^{\frac{7}{3}}\right)$

Используя свойство логарифма степени ($\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$), получаем:

$\left(3\lg^3 x - \frac{2}{3}\lg x\right) \cdot \lg x = \frac{7}{3}$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \lg x$. Тогда уравнение примет вид:

$(3y^3 - \frac{2}{3}y) \cdot y = \frac{7}{3}$

$3y^4 - \frac{2}{3}y^2 = \frac{7}{3}$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

$9y^4 - 2y^2 = 7$

$9y^4 - 2y^2 - 7 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену $z = y^2$. Так как $y^2$ не может быть отрицательным, то $z \ge 0$.

$9z^2 - 2z - 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $z$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-7) = 4 + 252 = 256 = 16^2$

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 16}{18}$

$z_1 = \frac{2 + 16}{18} = \frac{18}{18} = 1$

$z_2 = \frac{2 - 16}{18} = \frac{-14}{18} = -\frac{7}{9}$

Корень $z_2 = -7/9$ не удовлетворяет условию $z \ge 0$, поэтому он является посторонним. Остается единственный корень $z=1$.

Вернемся к замене $z = y^2$:

$y^2 = 1 \implies y_1 = 1, y_2 = -1$

Теперь вернемся к замене $y = \lg x$ и найдем $x$:

1. Если $y = 1$, то $\lg x = 1$, откуда $x = 10^1 = 10$.

2. Если $y = -1$, то $\lg x = -1$, откуда $x = 10^{-1} = \frac{1}{10}$.

Оба найденных корня ($10$ и $1/10$) положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $10; \frac{1}{10}$.