Номер 923, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

923. Если в электрической цепи выключить источник питания, то сила тока $I$ начинает уменьшаться по закону: $I = I_0e^{-\frac{Rt}{L}}$, где $I_0$ (в амперах) — сила тока в цепи до выключения источника, $R$ (в омах) — сопротивление цепи, $L$ (в генри) — коэффициент самоиндукции, $t$ (в секундах) — время, прошедшее с момента выключения источника питания. Через какое время с момента выключения источника питания сила тока в цепи уменьшится в 3000 раз, если $R = 25$ Ом, $L = 0,005$ Гн?

Для решения задачи воспользуемся предоставленной формулой зависимости силы тока от времени после выключения источника питания:

$I = I_0 e^{-\frac{Rt}{L}}$

В этой формуле:

• $I$ — сила тока в момент времени $t$ (в амперах),
• $I_0$ — начальная сила тока (до выключения источника),
• $R$ — сопротивление цепи (в омах),
• $L$ — коэффициент самоиндукции (в генри),
• $t$ — время, прошедшее с момента выключения (в секундах),
• $e$ — основание натурального логарифма.

По условию задачи, сила тока в цепи должна уменьшиться в 3000 раз. Это означает, что итоговая сила тока $I$ будет связана с начальной силой тока $I_0$ следующим соотношением:

$I = \frac{I_0}{3000}$

Подставим это выражение в исходную формулу:

$\frac{I_0}{3000} = I_0 e^{-\frac{Rt}{L}}$

Так как начальная сила тока $I_0$ не равна нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $I_0$:

$\frac{1}{3000} = e^{-\frac{Rt}{L}}$

Чтобы найти время $t$, нам нужно избавиться от экспоненты. для этого возьмем натуральный логарифм ($\ln$) от обеих частей уравнения:

$\ln\left(\frac{1}{3000}\right) = \ln\left(e^{-\frac{Rt}{L}}\right)$

Используем свойства логарифмов: $\ln(1/x) = -\ln(x)$ и $\ln(e^y) = y$.

$-\ln(3000) = -\frac{Rt}{L}$

Умножим обе части на -1, чтобы избавиться от знаков минуса:

$\ln(3000) = \frac{Rt}{L}$

Теперь выразим искомое время $t$:

$t = \frac{L \cdot \ln(3000)}{R}$

Подставим в эту формулу числовые значения, данные в условии: $R = 25$ Ом и $L = 0,005$ Гн.

$t = \frac{0,005 \cdot \ln(3000)}{25}$

Вычислим значение. Значение натурального логарифма $\ln(3000) \approx 8,006368$.

$t \approx \frac{0,005 \cdot 8,006368}{25}$

$t \approx \frac{0,04003184}{25}$

$t \approx 0,00160127$ с

Округлим результат. Полученное время можно также выразить в миллисекундах: $0,0016$ с $= 1,6$ мс.

Ответ: время, через которое сила тока уменьшится в 3000 раз, составляет примерно $0,0016$ секунды (или $1,6$ мс).