Номер 899, страница 266 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

899. Решить графически уравнение:

1) $\log_3 x = \frac{3}{x}$;

2) $2^x = \log_{\frac{1}{2}} x.$

1) Для того чтобы решить уравнение $\log_3 x = \frac{3}{x}$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \log_3 x$ и $y_2 = \frac{3}{x}$. Решением уравнения будет абсцисса (координата $x$) точки пересечения этих графиков.

Проанализируем и построим график функции $y_1 = \log_3 x$:

• Область определения: $x > 0$.
• Свойства: Это логарифмическая функция с основанием $3 > 1$, следовательно, она является строго возрастающей на всей области определения.
• Ключевые точки:
  • при $x=1$, $y_1 = \log_3 1 = 0$; точка $(1, 0)$.
  • при $x=3$, $y_1 = \log_3 3 = 1$; точка $(3, 1)$.
  • при $x=9$, $y_1 = \log_3 9 = 2$; точка $(9, 2)$.

Проанализируем и построим график функции $y_2 = \frac{3}{x}$:

• Область определения: $x \neq 0$. Так как первая функция определена только для $x > 0$, нас интересует ветвь гиперболы в первой координатной четверти.
• Свойства: При $x > 0$ функция является строго убывающей.
• Ключевые точки:
  • при $x=1$, $y_2 = \frac{3}{1} = 3$; точка $(1, 3)$.
  • при $x=3$, $y_2 = \frac{3}{3} = 1$; точка $(3, 1)$.
  • при $x=6$, $y_2 = \frac{3}{6} = 0.5$; точка $(6, 0.5)$.

Нанесем ключевые точки на координатную плоскость и соединим их плавными линиями. График $y_1 = \log_3 x$ — возрастающая кривая, проходящая через $(1,0)$ и $(3,1)$. График $y_2 = \frac{3}{x}$ — убывающая кривая (ветвь гиперболы), проходящая через $(1,3)$ и $(3,1)$.

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает на общей области определения $(0, +\infty)$, их графики могут пересечься не более одного раза. Из анализа ключевых точек и построения графиков видно, что они пересекаются в точке $(3, 1)$.

Проверим, является ли $x=3$ корнем уравнения, подставив это значение в исходное уравнение:

$\log_3 3 = \frac{3}{3}$

$1 = 1$

Равенство верное, значит $x=3$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x=3$.

2) Для решения уравнения $2^x = \log_{\frac{1}{2}} x$ построим в одной системе координат графики функций $y_1 = 2^x$ и $y_2 = \log_{\frac{1}{2}} x$.

Проанализируем и построим график функции $y_1 = 2^x$:

• Область определения: все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
• Свойства: Это показательная функция с основанием $2 > 1$, она является строго возрастающей.
• Ключевые точки:
  • при $x=-1$, $y_1 = 2^{-1} = 0.5$; точка $(-1, 0.5)$.
  • при $x=0$, $y_1 = 2^0 = 1$; точка $(0, 1)$.
  • при $x=1$, $y_1 = 2^1 = 2$; точка $(1, 2)$.

Проанализируем и построим график функции $y_2 = \log_{\frac{1}{2}} x$:

• Область определения: $x > 0$.
• Свойства: Это логарифмическая функция с основанием $a = \frac{1}{2}$, где $0 < a < 1$. Она является строго убывающей.
• Ключевые точки:
  • при $x=0.25$, $y_2 = \log_{0.5} 0.25 = 2$; точка $(0.25, 2)$.
  • при $x=0.5$, $y_2 = \log_{0.5} 0.5 = 1$; точка $(0.5, 1)$.
  • при $x=1$, $y_2 = \log_{0.5} 1 = 0$; точка $(1, 0)$.

Построим эскизы графиков. На общей области определения $x > 0$ функция $y_1=2^x$ строго возрастает, а функция $y_2=\log_{\frac{1}{2}} x$ строго убывает. Следовательно, их графики могут пересечься только в одной точке.

Из графиков видно, что точка пересечения существует и ее абсцисса находится в интервале $(0, 1)$. Попробуем оценить ее положение более точно, сравнивая значения функций в ключевых точках:

• При $x=0.5$: $y_1(0.5) = 2^{0.5} = \sqrt{2} \approx 1.414$, а $y_2(0.5) = 1$. В этой точке $y_1 > y_2$.
• При $x=0.25$: $y_1(0.25) = 2^{0.25} = \sqrt[4]{2} \approx 1.189$, а $y_2(0.25) = 2$. В этой точке $y_1 < y_2$.

Поскольку на концах отрезка $[0.25, 0.5]$ разность значений функций $y_1(x) - y_2(x)$ меняет знак, а сами функции непрерывны, корень уравнения действительно находится в интервале $(0.25, 0.5)$. Точное аналитическое решение данного трансцендентного уравнения найти сложно. Графический метод позволяет нам утверждать, что решение существует и оно единственно.

Ответ: Уравнение имеет один корень, который является абсциссой точки пересечения графиков функций $y=2^x$ и $y=\log_{\frac{1}{2}} x$. Приблизительное значение корня лежит в интервале $(0.25, 0.5)$.