Номер 893, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

893. 1) $ \lg (x^2 + 2x + 2) < 1; $

2) $ \log_3 (x^2 + 7x - 5) > 1. $

1)

Дано логарифмическое неравенство $lg(x^2 + 2x + 2) < 1$.
По определению десятичного логарифма ($lg$) и свойству логарифмической функции с основанием $10 > 1$, данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + 2x + 2 > 0 \\ x^2 + 2x + 2 < 10^1 \end{cases} $

Рассмотрим первое неравенство (область допустимых значений):
$x^2 + 2x + 2 > 0$
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + 2x + 2$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, парабола $y = x^2 + 2x + 2$ полностью расположена выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $x^2 + 2x + 2$ положительно при любом действительном значении $x$. Таким образом, область допустимых значений - все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Рассмотрим второе неравенство:
$x^2 + 2x + 2 < 10$
$x^2 + 2x - 8 < 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета, корни равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.
Графиком функции $y = x^2 + 2x - 8$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Следовательно, решение этого неравенства: $x \in (-4, 2)$.

Так как область допустимых значений - вся числовая прямая, то решение исходного неравенства совпадает с решением второго неравенства.
Ответ: $x \in (-4, 2)$.

2)

Дано логарифмическое неравенство $log_3(x^2 + 7x - 5) > 1$.

Решение этого неравенства должно удовлетворять системе: $ \begin{cases} x^2 + 7x - 5 > 0 \quad (\text{ОДЗ}) \\ log_3(x^2 + 7x - 5) > 1 \end{cases} $

Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому второе неравенство можно переписать, избавившись от логарифмов: $x^2 + 7x - 5 > 3^1$
$x^2 + 7x - 5 > 3$

Наша система принимает вид: $ \begin{cases} x^2 + 7x - 5 > 0 \\ x^2 + 7x - 5 > 3 \end{cases} $

Заметим, что если выполняется второе неравенство ($x^2 + 7x - 5 > 3$), то первое неравенство ($x^2 + 7x - 5 > 0$) выполняется автоматически, так как $3 > 0$. Следовательно, достаточно решить только второе, более сильное, неравенство:

$x^2 + 7x - 5 > 3$
$x^2 + 7x - 8 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$.
По теореме Виета, корни равны $x_1 = -8$ и $x_2 = 1$.
Графиком функции $y = x^2 + 7x - 8$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется вне интервала между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x < -8$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -8) \cup (1, +\infty)$.