Номер 894, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

894. Вычислить:

1) $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3\sqrt[3]{3}};

2) $\log_{\sqrt{5}} \frac{1}{25\sqrt[4]{5}};

3) $2^{2 - \log_2 5};

4) $3^{2 + \log_3 4};

5) $2 \log_5 \sqrt{5} + 3 \log_2 8;

6) $\log_2 \log_2 \log_2 2^{16}.

1) Чтобы вычислить $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3\sqrt{3}}$, представим основание и аргумент логарифма в виде степени числа 3.
Основание: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
Аргумент: $\frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{3^{1+\frac{1}{2}}} = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} = 3^{-\frac{3}{2}}$.
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$\log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^{-\frac{3}{2}}$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:
$\log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^{-\frac{3}{2}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} \log_3 3 = -3 \cdot 1 = -3$.
Ответ: -3.

2) Чтобы вычислить $\log_{\sqrt{5}} \frac{1}{25\sqrt[4]{5}}$, представим основание и аргумент логарифма в виде степени числа 5.
Основание: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.
Аргумент: $\frac{1}{25\sqrt[4]{5}} = \frac{1}{5^2 \cdot 5^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{5^{2+\frac{1}{4}}} = \frac{1}{5^{\frac{9}{4}}} = 5^{-\frac{9}{4}}$.
Подставим полученные выражения в логарифм:
$\log_{5^{\frac{1}{2}}} 5^{-\frac{9}{4}}$.
Используем свойство $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:
$\frac{-\frac{9}{4}}{\frac{1}{2}} \log_5 5 = -\frac{9}{4} \cdot 2 \cdot 1 = -\frac{9}{2} = -4,5$.
Ответ: -4,5.

3) Для вычисления $2^{2-\log_2 5}$ воспользуемся свойством степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$2^{2-\log_2 5} = \frac{2^2}{2^{\log_2 5}}$.
Теперь применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$\frac{4}{2^{\log_2 5}} = \frac{4}{5} = 0,8$.
Ответ: 0,8.

4) Для вычисления $3^{2+\log_3 4}$ воспользуемся свойством степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$3^{2+\log_3 4} = 3^2 \cdot 3^{\log_3 4}$.
Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$9 \cdot 3^{\log_3 4} = 9 \cdot 4 = 36$.
Ответ: 36.

5) Вычислим выражение $2\log_5 \sqrt{5} + 3\log_2 8$ по частям.
Первое слагаемое: $2\log_5 \sqrt{5}$. Используя свойство $k\log_a b = \log_a b^k$, получаем:
$2\log_5 \sqrt{5} = \log_5 (\sqrt{5})^2 = \log_5 5 = 1$.
Второе слагаемое: $3\log_2 8$. Так как $8 = 2^3$:
$3\log_2 8 = 3\log_2 2^3 = 3 \cdot 3 \log_2 2 = 3 \cdot 3 \cdot 1 = 9$.
Теперь сложим полученные значения:
$1 + 9 = 10$.
Ответ: 10.

6) Вычислим $\log_2 \log_2 \log_2 2^{16}$ последовательно, начиная с внутреннего логарифма.
1. Вычислим $\log_2 2^{16}$. По определению логарифма $\log_a a^b = b$:
$\log_2 2^{16} = 16$.
2. Теперь выражение принимает вид $\log_2 \log_2 16$. Вычислим $\log_2 16$. Так как $16 = 2^4$:
$\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$.
3. Остается вычислить $\log_2 4$. Так как $4 = 2^2$:
$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$.
Ответ: 2.