Номер 891, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить неравенство (891–893).

891. 1) $log_2 (x - 5) \le 2$;

2) $log_3 (7 - x) > 1$;

3) $log_{\frac{1}{2}} (2x + 1) > -2$;

4) $log_{\frac{1}{2}} (3 - 5x) < -3$.

1) Решим логарифмическое неравенство $\log_2(x-5) \le 2$.
Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x - 5 > 0$, откуда получаем $x > 5$.
Теперь решим само неравенство. Для этого представим правую часть в виде логарифма по основанию 2:
$2 = 2 \cdot \log_2(2) = \log_2(2^2) = \log_2(4)$.
Неравенство принимает вид:
$\log_2(x-5) \le \log_2(4)$.
Основание логарифма $a=2$ больше 1, следовательно, логарифмическая функция $y=\log_2(t)$ является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$x - 5 \le 4$
$x \le 9$.
Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:
$\begin{cases} x > 5 \\ x \le 9 \end{cases}$
Решением этой системы является промежуток $5 < x \le 9$.
Ответ: $x \in (5, 9]$.

2) Решим неравенство $\log_3(7-x) > 1$.
Найдем ОДЗ, потребовав, чтобы аргумент логарифма был положительным:
$7 - x > 0$, откуда $x < 7$.
Представим число 1 в виде логарифма по основанию 3:
$1 = \log_3(3^1) = \log_3(3)$.
Подставим это в исходное неравенство:
$\log_3(7-x) > \log_3(3)$.
Так как основание логарифма $a=3 > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:
$7 - x > 3$
$-x > 3 - 7$
$-x > -4$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < 4$.
Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x < 7 \\ x < 4 \end{cases}$
Общим решением является $x < 4$.
Ответ: $x \in (-\infty, 4)$.

3) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{2}}(2x+1) > -2$.
Найдем ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен.
$2x + 1 > 0 \Rightarrow 2x > -1 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}$.
Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию $\frac{1}{2}$:
$-2 = \log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^{-2}) = \log_{\frac{1}{2}}(2^2) = \log_{\frac{1}{2}}(4)$.
Неравенство принимает вид:
$\log_{\frac{1}{2}}(2x+1) > \log_{\frac{1}{2}}(4)$.
Основание логарифма $a=\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$2x + 1 < 4$
$2x < 3$
$x < \frac{3}{2}$.
Совместим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x > -\frac{1}{2} \\ x < \frac{3}{2} \end{cases}$
Решением системы является интервал $-\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$.
Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$.

4) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{2}}(3-5x) < -3$.
Найдем ОДЗ:
$3 - 5x > 0 \Rightarrow 3 > 5x \Rightarrow x < \frac{3}{5}$.
Представим -3 в виде логарифма по основанию $\frac{1}{2}$:
$-3 = \log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^{-3}) = \log_{\frac{1}{2}}(2^3) = \log_{\frac{1}{2}}(8)$.
Неравенство можно переписать как:
$\log_{\frac{1}{2}}(3-5x) < \log_{\frac{1}{2}}(8)$.
Поскольку основание логарифма $a=\frac{1}{2} < 1$, функция является убывающей, и при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$3 - 5x > 8$
$-5x > 8 - 3$
$-5x > 5$
Разделим обе части на -5, не забыв снова поменять знак неравенства:
$x < -1$.
Найдем пересечение этого результата с ОДЗ:
$\begin{cases} x < \frac{3}{5} \\ x < -1 \end{cases}$
Так как $-1 < \frac{3}{5}$, общее решение системы $x < -1$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1)$.