Номер 890, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

890. 1) $\log_{2} (x - 2) + \log_{2} (x - 3) = 1;$

2) $\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (-1 - x) = 3;$

3) $\lg (x - 2) + \lg x = \lg 3;$

4) $\log_{\sqrt{6}} (x - 1) + \log_{\sqrt{6}} (x + 4) = \log_{\sqrt{6}} 6.$

1) Исходное уравнение: $log_2(x-2) + log_2(x-3) = 1$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$
$x-3 > 0 \Rightarrow x > 3$
Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x > 3$.
Теперь решим уравнение. Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$:
$log_2((x-2)(x-3)) = 1$
По определению логарифма ($log_a(b) = c \Leftrightarrow a^c = b$), преобразуем уравнение:
$(x-2)(x-3) = 2^1$
$x^2 - 3x - 2x + 6 = 2$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$):
$x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x > 3$, следовательно, это посторонний корень.
$x_2 = 4$ удовлетворяет условию $x > 3$.
Ответ: 4

2) Исходное уравнение: $log_3(5-x) + log_3(-1-x) = 3$.
Найдем ОДЗ:
$5-x > 0 \Rightarrow x < 5$
$-1-x > 0 \Rightarrow -x > 1 \Rightarrow x < -1$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x < -1$.
Применим свойство суммы логарифмов:
$log_3((5-x)(-1-x)) = 3$
По определению логарифма:
$(5-x)(-1-x) = 3^3$
$-5 - 5x + x + x^2 = 27$
$x^2 - 4x - 5 - 27 = 0$
$x^2 - 4x - 32 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение -32. Корни уравнения: $x_1 = 8$, $x_2 = -4$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x < -1$):
$x_1 = 8$ не удовлетворяет условию $x < -1$, это посторонний корень.
$x_2 = -4$ удовлетворяет условию $x < -1$.
Ответ: -4

3) Исходное уравнение: $lg(x-2) + lg x = lg 3$. (lg - это десятичный логарифм, $log_{10}$)
Найдем ОДЗ:
$x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$
$x > 0$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 2$.
Используем свойство суммы логарифмов:
$lg((x-2)x) = lg 3$
Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:
$(x-2)x = 3$
$x^2 - 2x = 3$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -3. Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$):
$x_1 = 3$ удовлетворяет условию $x > 2$.
$x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x > 2$, это посторонний корень.
Ответ: 3

4) Исходное уравнение: $log_{\sqrt{6}}(x-1) + log_{\sqrt{6}}(x+4) = log_{\sqrt{6}} 6$.
Найдем ОДЗ:
$x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$
$x+4 > 0 \Rightarrow x > -4$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 1$.
Используем свойство суммы логарифмов:
$log_{\sqrt{6}}((x-1)(x+4)) = log_{\sqrt{6}} 6$
Приравняем аргументы логарифмов:
$(x-1)(x+4) = 6$
$x^2 + 4x - x - 4 = 6$
$x^2 + 3x - 4 - 6 = 0$
$x^2 + 3x - 10 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение -10. Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -5$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 1$):
$x_1 = 2$ удовлетворяет условию $x > 1$.
$x_2 = -5$ не удовлетворяет условию $x > 1$, это посторонний корень.
Ответ: 2