Номер 888, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (888—890).

888. 1) $ \log_{\frac{1}{2}}(7-8x)=-2 $

2) $ \lg (x^2-2)=\lg x $

1) $\log_{\frac{1}{2}}(7-8x) = -2$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмического уравнения. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $7 - 8x > 0$

Решим это неравенство:
$-8x > -7$
$x < \frac{7}{8}$

Теперь решим само уравнение, используя основное логарифмическое тождество: если $\log_b a = c$, то $a = b^c$.
Применительно к нашему уравнению:
$7 - 8x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$

Вычислим значение в правой части:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^{-1 \cdot (-2)} = 2^2 = 4$

Подставим полученное значение обратно в уравнение:
$7 - 8x = 4$

Решим полученное линейное уравнение:
$-8x = 4 - 7$
$-8x = -3$
$x = \frac{-3}{-8} = \frac{3}{8}$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = \frac{3}{8}$ условию ОДЗ ($x < \frac{7}{8}$).
Поскольку $\frac{3}{8} < \frac{7}{8}$, корень является действительным решением уравнения.

Ответ: $\frac{3}{8}$.

2) $\lg(x^2 - 2) = \lg x$

Данное уравнение содержит логарифмы с одинаковым основанием (десятичный логарифм, основание 10). Уравнение вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно системе, в которой аргументы равны, и при этом они оба (или один из них, так как они равны) больше нуля.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:
$ \begin{cases} x^2 - 2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства $x^2 > 2$ следует, что $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.
Совмещая это со вторым условием $x > 0$, получаем итоговую ОДЗ: $x > \sqrt{2}$.

Теперь решим уравнение, приравняв аргументы логарифмов:
$x^2 - 2 = x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-2$. Этим условиям удовлетворяют корни:
$x_1 = 2$
$x_2 = -1$

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений $x > \sqrt{2}$ (где $\sqrt{2} \approx 1.414$).
1. Корень $x_1 = 2$. Так как $2 > \sqrt{2}$, этот корень удовлетворяет ОДЗ.
2. Корень $x_2 = -1$. Так как $-1 < \sqrt{2}$, этот корень не входит в ОДЗ и является посторонним.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один корень.

Ответ: $2$.