Страница 260 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

842. 1) $\frac{1}{2} \lg (x^2 + x - 5) = \lg (5x) + \lg \frac{1}{5x}$;

2) $\frac{1}{2} \lg (x^2 - 4x - 1) = \lg (8x) - \lg (4x).$

1) $\frac{1}{2} \lg(x^2 + x - 5) = \lg(5x) + \lg(\frac{1}{5x})$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Аргументы всех логарифмов в уравнении должны быть строго больше нуля:
1. $x^2 + x - 5 > 0$
2. $5x > 0 \implies x > 0$
3. $\frac{1}{5x} > 0 \implies x > 0$

Для решения неравенства $x^2 + x - 5 > 0$, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 5 = 0$:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$.
Поскольку парабола $y = x^2 + x - 5$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 + x - 5 > 0$ выполняется при $x < \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}$ или $x > \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$.
Объединяя это с условием $x > 0$, получаем ОДЗ: $x > \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$.

Теперь упростим правую часть уравнения, используя свойство суммы логарифмов $\lg(a) + \lg(b) = \lg(ab)$:
$\lg(5x) + \lg(\frac{1}{5x}) = \lg(5x \cdot \frac{1}{5x}) = \lg(1)$.
Поскольку $\lg(1) = 0$, уравнение принимает вид:
$\frac{1}{2} \lg(x^2 + x - 5) = 0$.

Умножим обе части уравнения на 2:
$\lg(x^2 + x - 5) = 0$.
По определению десятичного логарифма ($ \lg a = b \iff a = 10^b $), получаем:
$x^2 + x - 5 = 10^0$
$x^2 + x - 5 = 1$
$x^2 + x - 6 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Отсюда находим корни:
$x_1 = 2$, $x_2 = -3$.

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ: $x > \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$.
Приближенное значение $\sqrt{21}$ находится между 4 и 5 ($\sqrt{16} < \sqrt{21} < \sqrt{25}$), поэтому $\frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \approx \frac{-1 + 4.58}{2} \approx 1.79$.
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > 1.79$, значит, он является решением.
Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 < 0$.
Таким образом, у уравнения есть только один корень.
Ответ: 2.

2) $\frac{1}{2} \lg(x^2 - 4x - 1) = \lg(8x) - \lg(4x)$

Находим область допустимых значений (ОДЗ):
1. $x^2 - 4x - 1 > 0$
2. $8x > 0 \implies x > 0$
3. $4x > 0 \implies x > 0$

Решим неравенство $x^2 - 4x - 1 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 1 = 0$:
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.
Неравенство $x^2 - 4x - 1 > 0$ выполняется при $x < 2 - \sqrt{5}$ или $x > 2 + \sqrt{5}$.
Так как $2 - \sqrt{5} < 0$, а по другим условиям $x > 0$, итоговая ОДЗ: $x > 2 + \sqrt{5}$.

Упростим правую часть уравнения, используя свойство разности логарифмов $\lg(a) - \lg(b) = \lg(\frac{a}{b})$:
$\lg(8x) - \lg(4x) = \lg(\frac{8x}{4x}) = \lg(2)$.
Уравнение приобретает вид:
$\frac{1}{2} \lg(x^2 - 4x - 1) = \lg(2)$.

Умножим обе части на 2:
$\lg(x^2 - 4x - 1) = 2\lg(2)$.
Применим свойство степени логарифма $c \lg(a) = \lg(a^c)$:
$\lg(x^2 - 4x - 1) = \lg(2^2)$
$\lg(x^2 - 4x - 1) = \lg(4)$.

Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:
$x^2 - 4x - 1 = 4$
$x^2 - 4x - 5 = 0$.

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$ и $x_1 \cdot x_2 = -5$. Корни:
$x_1 = 5$, $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 2 + \sqrt{5}$).
Приближенное значение $\sqrt{5} \approx 2.24$, тогда $2 + \sqrt{5} \approx 4.24$.
Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $5 > 4.24$, следовательно, это верное решение.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-1 < 0$.
Ответ: 5.

843. 1) $ \log_3 (5x + 3) = \log_3 (7x + 5) $;
2) $ \log_{\frac{1}{2}} (3x - 1) = \log_{\frac{1}{2}} (6x + 8) $.

1)

Дано логарифмическое уравнение: $\log_3(5x + 3) = \log_3(7x + 5)$.

Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы. Однако перед этим необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ), так как выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

ОДЗ определяется системой неравенств:

$ \begin{cases} 5x + 3 > 0 \\ 7x + 5 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

$5x > -3 \implies x > -3/5$

$7x > -5 \implies x > -5/7$

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, необходимо выбрать более строгое из них. Сравним $-3/5$ и $-5/7$. Приведя к общему знаменателю: $-3/5 = -21/35$ и $-5/7 = -25/35$. Так как $-21/35 > -25/35$, то и $-3/5 > -5/7$. Следовательно, ОДЗ: $x > -3/5$.

Теперь решим само уравнение, приравняв аргументы:

$5x + 3 = 7x + 5$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$3 - 5 = 7x - 5x$

$-2 = 2x$

$x = -1$

Проверим, принадлежит ли найденный корень $x = -1$ области допустимых значений $x > -3/5$.

Поскольку $-1 < -3/5$ (или $-1 < -0.6$), корень $x=-1$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2)

Дано логарифмическое уравнение: $\log_{\frac{1}{2}}(3x - 1) = \log_{\frac{1}{2}}(6x + 8)$.

Аналогично предыдущему пункту, начнем с нахождения области допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

ОДЗ определяется системой неравенств:

$ \begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ 6x + 8 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

$3x > 1 \implies x > 1/3$

$6x > -8 \implies x > -8/6 \implies x > -4/3$

Для того чтобы оба неравенства выполнялись, $x$ должен удовлетворять более сильному из них. Так как $1/3 > -4/3$, общая область допустимых значений: $x > 1/3$.

Теперь, когда ОДЗ найдена, приравняем аргументы логарифмов, так как их основания равны:

$3x - 1 = 6x + 8$

Решим полученное линейное уравнение:

$-1 - 8 = 6x - 3x$

$-9 = 3x$

$x = -3$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -3$ области допустимых значений $x > 1/3$.

Так как $-3 < 1/3$, корень $x = -3$ не входит в ОДЗ и является посторонним.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

844. 1) $ \log_7 (x - 1) \log_7 x = \log_7^2 x $

2) $ \log_{\frac{1}{3}} x \log_{\frac{1}{3}} (3x - 2) = \log_{\frac{1}{3}} (3x - 2) $

3) $ \log_2 (3x + 1) \log_3 x = 2 \log_2 (3x + 1) $

4) $ \log_{\sqrt{3}} (x - 2) \log_5 x = 2 \log_3 (x - 2) $

1) $ \log_{7}(x-1) \log_{7}x = \log_{7}x $
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 1 $.
Теперь решим уравнение. Перенесем все члены в левую часть:
$ \log_{7}(x-1) \log_{7}x - \log_{7}x = 0 $
Вынесем общий множитель $ \log_{7}x $ за скобки:
$ \log_{7}x (\log_{7}(x-1) - 1) = 0 $
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
Случай 1: $ \log_{7}x = 0 $
$ x = 7^0 $
$ x = 1 $
Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($ x > 1 $), поэтому он является посторонним.
Случай 2: $ \log_{7}(x-1) - 1 = 0 $
$ \log_{7}(x-1) = 1 $
$ x - 1 = 7^1 $
$ x - 1 = 7 $
$ x = 8 $
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ 8 > 1 $).
Ответ: $ x = 8 $.

2) $ \log_{\frac{1}{3}}x \log_{\frac{1}{3}}(3x-2) = \log_{\frac{1}{3}}(3x-2) $
Определим ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ 3x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ 3x > 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > \frac{2}{3} \end{cases} \Rightarrow x > \frac{2}{3} $.
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$ \log_{\frac{1}{3}}x \log_{\frac{1}{3}}(3x-2) - \log_{\frac{1}{3}}(3x-2) = 0 $
Вынесем общий множитель $ \log_{\frac{1}{3}}(3x-2) $ за скобки:
$ \log_{\frac{1}{3}}(3x-2) (\log_{\frac{1}{3}}x - 1) = 0 $
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $ \log_{\frac{1}{3}}(3x-2) = 0 $
$ 3x - 2 = (\frac{1}{3})^0 $
$ 3x - 2 = 1 $
$ 3x = 3 $
$ x = 1 $
Корень $ x = 1 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 1 > \frac{2}{3} $).
Случай 2: $ \log_{\frac{1}{3}}x - 1 = 0 $
$ \log_{\frac{1}{3}}x = 1 $
$ x = (\frac{1}{3})^1 $
$ x = \frac{1}{3} $
Корень $ x = \frac{1}{3} $ не удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{1}{3} \ngtr \frac{2}{3} $).
Ответ: $ x = 1 $.

3) $ \log_{2}(3x+1) \log_{3}x = 2 \log_{2}(3x+1) $
Определим ОДЗ:
$ \begin{cases} 3x + 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -\frac{1}{3} \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 0 $.
Перенесем все в левую часть:
$ \log_{2}(3x+1) \log_{3}x - 2 \log_{2}(3x+1) = 0 $
Вынесем $ \log_{2}(3x+1) $ за скобки:
$ \log_{2}(3x+1) (\log_{3}x - 2) = 0 $
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $ \log_{2}(3x+1) = 0 $
$ 3x + 1 = 2^0 $
$ 3x + 1 = 1 $
$ 3x = 0 $
$ x = 0 $
Корень $ x = 0 $ не удовлетворяет ОДЗ ($ x > 0 $).
Случай 2: $ \log_{3}x - 2 = 0 $
$ \log_{3}x = 2 $
$ x = 3^2 $
$ x = 9 $
Корень $ x = 9 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 9 > 0 $).
Ответ: $ x = 9 $.

4) $ \log_{\sqrt{3}}(x-2) \log_{5}x = 2 \log_{3}(x-2) $
Определим ОДЗ:
$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 2 $.
Преобразуем логарифм по основанию $ \sqrt{3} $ к логарифму по основанию 3, используя свойство $ \log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b $:
$ \log_{\sqrt{3}}(x-2) = \log_{3^{1/2}}(x-2) = \frac{1}{1/2} \log_{3}(x-2) = 2 \log_{3}(x-2) $
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$ (2 \log_{3}(x-2)) \log_{5}x = 2 \log_{3}(x-2) $
Перенесем все в левую часть и разделим на 2:
$ 2 \log_{3}(x-2) \log_{5}x - 2 \log_{3}(x-2) = 0 $
$ \log_{3}(x-2) (\log_{5}x - 1) = 0 $
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $ \log_{3}(x-2) = 0 $
$ x - 2 = 3^0 $
$ x - 2 = 1 $
$ x = 3 $
Корень $ x = 3 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 3 > 2 $).
Случай 2: $ \log_{5}x - 1 = 0 $
$ \log_{5}x = 1 $
$ x = 5^1 $
$ x = 5 $
Корень $ x = 5 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 5 > 2 $).
Оба корня подходят.
Ответ: $ x = 3; 5 $.

845. Решить систему уравнений:

1) $ \begin{cases} \lg x - \lg y = 2, \\ x - 10y = 900; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 2, \\ x^2 y - 2y + 9 = 0. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:$$ \begin{cases} \lg x - \lg y = 2, \\ x - 10y = 900; \end{cases} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство разности логарифмов $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$:$$ \lg\frac{x}{y} = 2 $$

По определению десятичного логарифма ($ \lg a = b \iff a = 10^b $):$$ \frac{x}{y} = 10^2 $$$$ \frac{x}{y} = 100 $$Отсюда выразим $x$ через $y$:$$ x = 100y $$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:$$ (100y) - 10y = 900 $$

Решим полученное уравнение относительно $y$:$$ 90y = 900 $$$$ y = \frac{900}{90} $$$$ y = 10 $$

Найденное значение $y=10$ удовлетворяет ОДЗ ($y>0$).

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 100y$:$$ x = 100 \cdot 10 $$$$ x = 1000 $$

Значение $x=1000$ также удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Проверим найденное решение $(1000, 10)$, подставив его в исходную систему:$$ \begin{cases} \lg 1000 - \lg 10 = 3 - 1 = 2, \\ 1000 - 10 \cdot 10 = 1000 - 100 = 900; \end{cases} $$Оба равенства верны.

Ответ: $(1000, 10)$.

2) Дана система уравнений:$$ \begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 2, \\ x^2y - 2y + 9 = 0. \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:$$ \log_3(xy) = 2 $$

По определению логарифма ($ \log_a b = c \iff b = a^c $):$$ xy = 3^2 $$$$ xy = 9 $$

Выразим $y$ через $x$:$$ y = \frac{9}{x} $$(Так как из ОДЗ $x>0$, деление на $x$ возможно).

Подставим это выражение во второе уравнение системы:$$ x^2\left(\frac{9}{x}\right) - 2\left(\frac{9}{x}\right) + 9 = 0 $$

Упростим и решим полученное уравнение относительно $x$:$$ 9x - \frac{18}{x} + 9 = 0 $$Умножим все члены уравнения на $x$ (помним, что $x \neq 0$):$$ 9x^2 - 18 + 9x = 0 $$Разделим уравнение на 9 для упрощения:$$ x^2 + x - 2 = 0 $$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение $-2$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$).
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x > 0$.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому является посторонним корнем.

Итак, единственное подходящее значение $x=1$. Найдем соответствующее значение $y$:$$ y = \frac{9}{x} = \frac{9}{1} = 9 $$

Значение $y=9$ удовлетворяет ОДЗ ($y>0$).

Проверим найденное решение $(1, 9)$, подставив его в исходную систему:$$ \begin{cases} \log_3 1 + \log_3 9 = 0 + 2 = 2, \\ 1^2 \cdot 9 - 2 \cdot 9 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0. \end{cases} $$Оба равенства верны.

Ответ: $(1, 9)$.

Решить уравнение (846–848).

846. 1) $ \log_5 x^2 = 0 $; 2) $ \log_4 x^2 = 3 $; 3) $ \log_3 x^3 = 0 $; 4) $ \log_4 x^3 = 6 $;

5) $ \lg x^4 + \lg (4x) = 2 + \lg x^3 $; 6) $ \lg x + \lg x^2 = \lg (9x) $.

1) Исходное уравнение: $ \log_5 x^2 = 0 $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным: $ x^2 > 0 $, что эквивалентно $ x \ne 0 $.
По определению логарифма ($ \log_b a = c \iff a = b^c $), уравнение можно переписать в виде: $ x^2 = 5^0 $.
Так как любое ненулевое число в степени 0 равно 1, получаем: $ x^2 = 1 $.
Решениями этого квадратного уравнения являются $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -1 $.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ x \ne 0 $).
Ответ: $ x = \pm 1 $.

2) Исходное уравнение: $ \log_4 x^2 = 3 $.
ОДЗ: $ x^2 > 0 $, то есть $ x \ne 0 $.
По определению логарифма, имеем: $ x^2 = 4^3 $.
Вычисляем правую часть: $ 4^3 = 64 $.
Уравнение принимает вид: $ x^2 = 64 $.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим два решения: $ x_1 = 8 $ и $ x_2 = -8 $.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $ x = \pm 8 $.

3) Исходное уравнение: $ \log_3 x^3 = 0 $.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным, $ x^3 > 0 $. Это неравенство выполняется, когда $ x > 0 $.
По определению логарифма: $ x^3 = 3^0 $.
$ x^3 = 1 $.
Единственное действительное решение этого уравнения — $ x = 1 $.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ x > 0 $).
Ответ: $ x = 1 $.

4) Исходное уравнение: $ \log_4 x^3 = 6 $.
ОДЗ: $ x^3 > 0 $, что означает $ x > 0 $.
По определению логарифма: $ x^3 = 4^6 $.
Чтобы найти $x$, представим правую часть как степень с показателем 3: $ 4^6 = (4^2)^3 = 16^3 $.
Уравнение принимает вид: $ x^3 = 16^3 $.
Отсюда следует, что $ x = 16 $.
Корень $ x = 16 $ удовлетворяет ОДЗ ($ x > 0 $).
Ответ: $ x = 16 $.

5) Исходное уравнение: $ \lg x^4 + \lg (4x) = 2 + \lg x^3 $.
ОДЗ: все аргументы логарифмов должны быть положительны.
1) $ x^4 > 0 \implies x \ne 0 $.
2) $ 4x > 0 \implies x > 0 $.
3) $ x^3 > 0 \implies x > 0 $.
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $ x > 0 $.
Перенесем все слагаемые с логарифмами в левую часть уравнения: $ \lg x^4 + \lg (4x) - \lg x^3 = 2 $.
Используем свойства логарифмов ($ \log a + \log b = \log(ab) $ и $ \log a - \log b = \log(a/b) $): $ \lg \frac{x^4 \cdot 4x}{x^3} = 2 $.
Упростим выражение под знаком логарифма: $ \frac{4x^5}{x^3} = 4x^2 $.
Получаем уравнение: $ \lg (4x^2) = 2 $.
По определению десятичного логарифма ($ \lg a = c \iff a = 10^c $): $ 4x^2 = 10^2 $.
$ 4x^2 = 100 $.
$ x^2 = 25 $.
Возможные решения: $ x_1 = 5 $ и $ x_2 = -5 $.
Проверяем по ОДЗ ($ x > 0 $). Корень $ x = 5 $ удовлетворяет условию, а $ x = -5 $ — нет, поэтому является посторонним.
Ответ: $ x = 5 $.

6) Исходное уравнение: $ \lg x + \lg x^2 = \lg (9x) $.
ОДЗ: все аргументы логарифмов должны быть положительны.
1) $ x > 0 $.
2) $ x^2 > 0 \implies x \ne 0 $.
3) $ 9x > 0 \implies x > 0 $.
Общее ОДЗ: $ x > 0 $.
Используем свойство суммы логарифмов в левой части: $ \lg(x \cdot x^2) = \lg(x^3) $.
Уравнение принимает вид: $ \lg(x^3) = \lg(9x) $.
Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы: $ x^3 = 9x $.
Перенесем все члены в левую часть и решим уравнение: $ x^3 - 9x = 0 $.
Выносим $x$ за скобки: $ x(x^2 - 9) = 0 $.
Разложим на множители: $ x(x-3)(x+3) = 0 $.
Получаем три возможных корня: $ x_1 = 0 $, $ x_2 = 3 $, $ x_3 = -3 $.
Проверяем корни по ОДЗ ($ x > 0 $).
$ x = 0 $ не удовлетворяет ОДЗ.
$ x = -3 $ не удовлетворяет ОДЗ.
$ x = 3 $ удовлетворяет ОДЗ.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $ x = 3 $.

847. 1) $\log_4 (((x+2)(x+3))) + \log_4 \frac{x-2}{x+3} = 2;$

2) $\log_2 \frac{x-1}{x+4} + \log_2 (((x-1)(x+4))) = 2;$

3) $\log_3 x^2 - \log_3 \frac{x}{x+6} = 3;$

4) $\log_2 \frac{x+4}{x} + \log_2 x^2 = 5.$

1) Исходное уравнение: $\log_4((x+2)(x+3)) + \log_4 \frac{x-2}{x+3} = 2$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), для которой оба аргумента логарифмов положительны:
1) $(x+2)(x+3) > 0 \implies x \in (-\infty, -3) \cup (-2, \infty)$.
2) $\frac{x-2}{x+3} > 0 \implies x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.
Пересечением этих двух условий является ОДЗ: $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.

Теперь решим уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_4 \left( (x+2)(x+3) \cdot \frac{x-2}{x+3} \right) = 2$
Сокращаем $(x+3)$ (это возможно, так как в ОДЗ $x \neq -3$):
$\log_4((x+2)(x-2)) = 2$
$\log_4(x^2 - 4) = 2$
Из определения логарифма следует:
$x^2 - 4 = 4^2$
$x^2 - 4 = 16$
$x^2 = 20$
$x = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$.

Проверим, входят ли корни в ОДЗ.
$\sqrt{5} \approx 2.236$.
$x_1 = 2\sqrt{5} \approx 4.472$. Этот корень принадлежит интервалу $(2, \infty)$, значит, он подходит.
$x_2 = -2\sqrt{5} \approx -4.472$. Этот корень принадлежит интервалу $(-\infty, -3)$, значит, он тоже подходит.
Оба корня являются решениями.
Ответ: $x = \pm 2\sqrt{5}$.

2) Исходное уравнение: $\log_2 \frac{x-1}{x+4} + \log_2((x-1)(x+4)) = 2$.
Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны.
1) $\frac{x-1}{x+4} > 0$
2) $(x-1)(x+4) > 0$
Оба неравенства эквивалентны и выполняются, когда $x-1$ и $x+4$ одного знака. Это происходит при $x > 1$ или $x < -4$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, -4) \cup (1, \infty)$.

Применяем свойство суммы логарифмов:
$\log_2 \left( \frac{x-1}{x+4} \cdot (x-1)(x+4) \right) = 2$
Сокращаем $(x+4)$:
$\log_2((x-1)^2) = 2$
По определению логарифма:
$(x-1)^2 = 2^2$
$(x-1)^2 = 4$
Извлекаем корень: $x-1 = \pm 2$.
Получаем два возможных решения:
$x_1 = 1 + 2 = 3$
$x_2 = 1 - 2 = -1$.

Проверяем корни по ОДЗ.
$x_1 = 3$ принадлежит интервалу $(1, \infty)$, значит, это верный корень.
$x_2 = -1$ не принадлежит ОДЗ $x \in (-\infty, -4) \cup (1, \infty)$, поэтому это посторонний корень.
Ответ: $x=3$.

3) Исходное уравнение: $\log_3 x^2 - \log_3 \frac{x}{x+6} = 3$.
Найдем ОДЗ:
1) $x^2 > 0 \implies x \neq 0$.
2) $\frac{x}{x+6} > 0 \implies x \in (-\infty, -6) \cup (0, \infty)$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -6) \cup (0, \infty)$.

Применяем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:
$\log_3 \left( \frac{x^2}{\frac{x}{x+6}} \right) = 3$
Упрощаем выражение в аргументе:
$\log_3 \left(x^2 \cdot \frac{x+6}{x}\right) = 3$
$\log_3 (x(x+6)) = 3$
$\log_3 (x^2 + 6x) = 3$
По определению логарифма:
$x^2 + 6x = 3^3$
$x^2 + 6x = 27$
$x^2 + 6x - 27 = 0$
Решаем квадратное уравнение, например, разложением на множители:
$(x+9)(x-3) = 0$
$x_1 = -9$
$x_2 = 3$.

Проверяем корни по ОДЗ.
$x_1 = -9$ принадлежит интервалу $(-\infty, -6)$, значит, это верный корень.
$x_2 = 3$ принадлежит интервалу $(0, \infty)$, значит, это тоже верный корень.
Ответ: $x = -9; 3$.

4) Исходное уравнение: $\log_2 \frac{x+4}{x} + \log_2 x^2 = 5$.
Найдем ОДЗ:
1) $\frac{x+4}{x} > 0 \implies x \in (-\infty, -4) \cup (0, \infty)$.
2) $x^2 > 0 \implies x \neq 0$.
ОДЗ совпадает с первым условием: $x \in (-\infty, -4) \cup (0, \infty)$.

Применяем свойство суммы логарифмов:
$\log_2 \left( \frac{x+4}{x} \cdot x^2 \right) = 5$
Упрощаем выражение в аргументе:
$\log_2 ((x+4)x) = 5$
$\log_2 (x^2 + 4x) = 5$
По определению логарифма:
$x^2 + 4x = 2^5$
$x^2 + 4x = 32$
$x^2 + 4x - 32 = 0$
Решаем квадратное уравнение, разложив на множители:
$(x+8)(x-4) = 0$
$x_1 = -8$
$x_2 = 4$.

Проверяем корни по ОДЗ.
$x_1 = -8$ принадлежит интервалу $(-\infty, -4)$, значит, это верный корень.
$x_2 = 4$ принадлежит интервалу $(0, \infty)$, значит, это тоже верный корень.
Ответ: $x = -8; 4$.

848. 1) $2^{3 \\lg x} \\cdot 5^{\\lg x} = 1600;$

2) $2^{\\log_3 x^2} \\cdot 5^{\\log_3 x} = 400;$

3) $\\frac{1}{4+\\lg x} + \\frac{2}{2-\\lg x} = 1;$

4) $\\frac{1}{5-\\lg x} + \\frac{2}{1+\\lg x} = 1.$

1) $2^{3\lg x} \cdot 5^{\lg x} = 1600$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием существования логарифма: $x > 0$.

Преобразуем левую часть уравнения. Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $2^{3\lg x} = (2^3)^{\lg x} = 8^{\lg x}$.

Теперь уравнение принимает вид:

$8^{\lg x} \cdot 5^{\lg x} = 1600$

Используем свойство степеней $a^c \cdot b^c = (ab)^c$:

$(8 \cdot 5)^{\lg x} = 1600$

$40^{\lg x} = 1600$

Заметим, что $1600 = 40^2$. Подставим это в уравнение:

$40^{\lg x} = 40^2$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$\lg x = 2$

Из определения десятичного логарифма следует, что:

$x = 10^2 = 100$

Полученное значение $x=100$ удовлетворяет ОДЗ ($100 > 0$).

Ответ: $100$.

2) $2^{\log_3 x^2} \cdot 5^{\log_3 x} = 400$

ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть положительны. Из $\log_3 x$ следует $x > 0$. Из $\log_3 x^2$ следует $x^2 > 0$, что означает $x \neq 0$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Используем свойство логарифма $\

849. Не решая уравнений, выяснить, равносильны ли они:

1) $2^{3x+1}=2^{-3}$ и $3x+1=-3;$

2) $\log_{3} (x-1)=2$ и $x-1=9;$

3) $\lg x^{2}=1$ и $2 \lg x=1;$

4) $\lg \sqrt{x}=2$ и $\frac{1}{2} \lg x=2.$

1) $2^{3x+1} = 2^{-3}$ и $3x+1 = -3$

Первое уравнение является показательным. Так как показательная функция $y=a^t$ (где $a > 0, a \neq 1$) является монотонной, равенство $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ равносильно равенству показателей $f(x)=g(x)$. В данном случае основание $a=2$, поэтому уравнение $2^{3x+1} = 2^{-3}$ равносильно уравнению $3x+1 = -3$. Области допустимых значений (ОДЗ) для обоих уравнений совпадают (все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$). Следовательно, уравнения являются равносильными.
Ответ: равносильны.

2) $\log_3 (x-1) = 2$ и $x-1=9$

Первое уравнение — логарифмическое. Его ОДЗ определяется условием положительности аргумента логарифма: $x-1 > 0$, то есть $x > 1$. Второе уравнение — линейное, его ОДЗ — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
Переход от уравнения $\log_3(x-1) = 2$ к уравнению $x-1 = 3^2$ (что то же самое, что $x-1=9$) выполняется по определению логарифма. Это преобразование (потенцирование) является равносильным, так как условие $x-1 > 0$ из ОДЗ первого уравнения автоматически выполняется для решения второго уравнения ($x-1=9$, а $9>0$). Таким образом, любое решение второго уравнения удовлетворяет ОДЗ первого, и наоборот, любое решение первого по определению логарифма является решением второго. Множества решений совпадают.
Ответ: равносильны.

3) $\lg x^2 = 1$ и $2 \lg x = 1$

Рассмотрим области допустимых значений (ОДЗ) уравнений.
Для первого уравнения $\lg x^2 = 1$ аргумент логарифма должен быть положителен: $x^2 > 0$, что выполняется для всех $x$, кроме $x=0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$.
Для второго уравнения $2 \lg x = 1$ аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$. ОДЗ: $x \in (0; \infty)$.
Поскольку ОДЗ уравнений не совпадают, они не могут быть равносильными. Преобразование $\lg x^2 = 2 \lg x$ является сужением ОДЗ и приводит к потере корней (в данном случае, отрицательного корня). Правильным равносильным преобразованием для первого уравнения было бы $\lg x^2 = 2 \lg|x|$, что не совпадает со вторым уравнением.
Ответ: не равносильны.

4) $\lg \sqrt{x} = 2$ и $\frac{1}{2}\lg x = 2$

Рассмотрим ОДЗ уравнений.
Для первого уравнения $\lg \sqrt{x} = 2$ должны выполняться два условия: подкоренное выражение неотрицательно ($x \ge 0$) и аргумент логарифма положителен ($\sqrt{x} > 0$). Объединение этих условий дает $x > 0$.
Для второго уравнения $\frac{1}{2}\lg x = 2$ ОДЗ определяется условием $x > 0$.
ОДЗ обоих уравнений совпадают: $x \in (0; \infty)$.
На этой области допустимых значений справедливо тождество $\lg \sqrt{x} = \lg(x^{1/2}) = \frac{1}{2}\lg x$. Таким образом, левая часть первого уравнения тождественно равна левой части второго уравнения на их общей ОДЗ. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.

850. Решить систему уравнений:

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \lg x - \lg y = 7, \\ \lg x + \lg y = 5. \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы: $x > 0$ и $y > 0$.
Данная система является системой линейных уравнений относительно $\lg x$ и $\lg y$. Для удобства решения введем замену переменных. Пусть $a = \lg x$ и $b = \lg y$. Система примет вид:
$ \begin{cases} a - b = 7, \\ a + b = 5. \end{cases} $
Сложим первое и второе уравнения системы:
$(a - b) + (a + b) = 7 + 5$
$2a = 12$
$a = 6$
Теперь подставим найденное значение $a$ в любое из уравнений системы, например, во второе:
$6 + b = 5$
$b = 5 - 6$
$b = -1$
Выполним обратную замену:
$\lg x = a \implies \lg x = 6 \implies x = 10^6 = 1000000$.
$\lg y = b \implies \lg y = -1 \implies y = 10^{-1} = \frac{1}{10} = 0.1$.
Полученные значения $x=1000000$ и $y=0.1$ удовлетворяют ОДЗ, так как оба положительны.
Ответ: $(1000000; 0.1)$.

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \log_2 x + \frac{1}{2}\log_2 \frac{1}{y} = 4, \\ xy = 2. \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $\frac{1}{y} > 0$, что эквивалентно $x > 0$ и $y > 0$.
Упростим первое уравнение системы, используя свойства логарифмов $\log_a \frac{1}{b} = -\log_a b$:
$\log_2 x + \frac{1}{2}(-\log_2 y) = 4$
$\log_2 x - \frac{1}{2}\log_2 y = 4$.
Из второго уравнения системы $xy = 2$ выразим переменную $y$ через $x$:
$y = \frac{2}{x}$ (это возможно, так как $x>0$, следовательно $x \ne 0$).
Подставим полученное выражение для $y$ в преобразованное первое уравнение:
$\log_2 x - \frac{1}{2}\log_2 \left(\frac{2}{x}\right) = 4$.
Используем свойство логарифма частного $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$:
$\log_2 x - \frac{1}{2}(\log_2 2 - \log_2 x) = 4$.
Так как $\log_2 2 = 1$, уравнение принимает вид:
$\log_2 x - \frac{1}{2}(1 - \log_2 x) = 4$.
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $\log_2 x$:
$\log_2 x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log_2 x = 4$
$\frac{3}{2}\log_2 x = 4 + \frac{1}{2}$
$\frac{3}{2}\log_2 x = \frac{9}{2}$
Умножим обе части на $\frac{2}{3}$:
$\log_2 x = 3$.
Из определения логарифма находим $x$:
$x = 2^3 = 8$.
Теперь найдем $y$, используя выражение $y = \frac{2}{x}$:
$y = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Полученные значения $x=8$ и $y=\frac{1}{4}$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(8; \frac{1}{4})$.

Решить уравнение (851—860).

851.

1) $\log_2 x - 2 \log_x 2 = -1;$

2) $\log_2 x + \log_x 2 = 2,5;$

3) $\log_3 x + 2 \log_x 3 = 3;$

4) $\log_3 x - 6 \log_x 3 = 1.$

1) $\log_2 x - 2 \log_x 2 = -1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля, а основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице. Таким образом, $x > 0$ и $x \neq 1$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, чтобы привести все логарифмы к одному основанию:$\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$.

Теперь подставим это в исходное уравнение:$\log_2 x - 2 \cdot \frac{1}{\log_2 x} = -1$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:$t - \frac{2}{t} = -1$.

Так как $x \neq 1$, то $t = \log_2 x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $t$:$t^2 - 2 = -t$.Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное уравнение:$t^2 + t - 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$. Корни уравнения:$t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Теперь вернемся к замене:1. Если $t_1 = 1$, то $\log_2 x = 1$, откуда $x = 2^1 = 2$.2. Если $t_2 = -2$, то $\log_2 x = -2$, откуда $x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.

Оба найденных значения $x=2$ и $x=1/4$ удовлетворяют ОДЗ ($x>0, x \neq 1$).

Ответ: $2; \frac{1}{4}$.

2) $\log_2 x + \log_x 2 = 2,5$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.Используем свойство $\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$ и подставляем в уравнение:$\log_2 x + \frac{1}{\log_2 x} = 2,5$.

Сделаем замену $t = \log_2 x$. Так как $x \neq 1$, то $t \neq 0$.$t + \frac{1}{t} = 2,5$.$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$.Умножим обе части уравнения на $2t$:$2t^2 + 2 = 5t$.$2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение через дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$.Корни:$t_1 = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.$t_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене:1. Если $t_1 = 2$, то $\log_2 x = 2$, откуда $x = 2^2 = 4$.2. Если $t_2 = \frac{1}{2}$, то $\log_2 x = \frac{1}{2}$, откуда $x = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.

Оба корня $x=4$ и $x=\sqrt{2}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $4; \sqrt{2}$.

3) $\log_3 x + 2 \log_x 3 = 3$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.Используем свойство $\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$:$\log_3 x + 2 \cdot \frac{1}{\log_3 x} = 3$.

Сделаем замену $t = \log_3 x$ ($t \neq 0$):$t + \frac{2}{t} = 3$.Умножим на $t$:$t^2 + 2 = 3t$.$t^2 - 3t + 2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $3$, произведение равно $2$. Корни:$t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Возвращаемся к замене:1. Если $t_1 = 1$, то $\log_3 x = 1$, откуда $x = 3^1 = 3$.2. Если $t_2 = 2$, то $\log_3 x = 2$, откуда $x = 3^2 = 9$.

Оба корня $x=3$ и $x=9$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3; 9$.

4) $\log_3 x - 6 \log_x 3 = 1$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.Используем свойство $\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$:$\log_3 x - 6 \cdot \frac{1}{\log_3 x} = 1$.

Сделаем замену $t = \log_3 x$ ($t \neq 0$):$t - \frac{6}{t} = 1$.Умножим на $t$:$t^2 - 6 = t$.$t^2 - t - 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $1$, произведение равно $-6$. Корни:$t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Возвращаемся к замене:1. Если $t_1 = 3$, то $\log_3 x = 3$, откуда $x = 3^3 = 27$.2. Если $t_2 = -2$, то $\log_3 x = -2$, откуда $x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.

Оба корня $x=27$ и $x=1/9$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $27; \frac{1}{9}$.

852. 1) $ \log_{x^2} 9 + \log_{\sqrt{x}} 4 = 2; $

2) $ \log_{x^2} 16 - \log_{\sqrt{x}} 7 = 2. $

1) $\log_{x^2} 9 + \log_{\sqrt{x}} 4 = 2$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице.

Для $\log_{x^2} 9$: $x^2 > 0$ и $x^2 \neq 1$. Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq \pm 1$.

Для $\log_{\sqrt{x}} 4$: $\sqrt{x} > 0$ и $\sqrt{x} \neq 1$. Это означает, что $x > 0$ и $x \neq 1$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Теперь преобразуем логарифмы к одному основанию, например, к основанию $x$, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

$\log_{x^2} 9 = \log_{x^2} 3^2 = \frac{2}{2} \log_{|x|} 3$. Так как по ОДЗ $x>0$, то $|x|=x$, следовательно, $\log_{x^2} 9 = \log_x 3$.

$\log_{\sqrt{x}} 4 = \log_{x^{1/2}} 4 = \frac{1}{1/2} \log_x 4 = 2 \log_x 4$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$\log_x 3 + 2 \log_x 4 = 2$

Используем свойства логарифмов $n \log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_x 3 + \log_x 4^2 = 2$

$\log_x 3 + \log_x 16 = 2$

$\log_x (3 \cdot 16) = 2$

$\log_x 48 = 2$

По определению логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c = b $):

$x^2 = 48$

$x = \pm\sqrt{48} = \pm\sqrt{16 \cdot 3} = \pm 4\sqrt{3}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$).

Корень $x = 4\sqrt{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = -4\sqrt{3}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как он отрицательный.

Следовательно, решением уравнения является $x = 4\sqrt{3}$.

Ответ: $4\sqrt{3}$

2) $\log_{x^2} 16 - \log_{\sqrt{x}} 7 = 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) такая же, как и в первом уравнении: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Преобразуем логарифмы к основанию $x$:

$\log_{x^2} 16 = \log_{x^2} 4^2 = \frac{2}{2} \log_{|x|} 4$. Так как $x > 0$, то $\log_{x^2} 16 = \log_x 4$.

$\log_{\sqrt{x}} 7 = \log_{x^{1/2}} 7 = \frac{1}{1/2} \log_x 7 = 2 \log_x 7$.

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$\log_x 4 - 2 \log_x 7 = 2$

Используем свойства логарифмов $n \log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$:

$\log_x 4 - \log_x 7^2 = 2$

$\log_x 4 - \log_x 49 = 2$

$\log_x \left(\frac{4}{49}\right) = 2$

По определению логарифма:

$x^2 = \frac{4}{49}$

$x = \pm\sqrt{\frac{4}{49}} = \pm \frac{2}{7}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$).

Корень $x = \frac{2}{7}$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = -\frac{2}{7}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как он отрицательный.

Следовательно, решением уравнения является $x = \frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{2}{7}$

853. 1) $ \text{lg} (6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x) - \text{lg} 25 = x;$

2) $ \text{lg} (2^x + x + 4) = x - x\text{lg} 5.$

1) $\lg (6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x) - \lg 25 = x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x > 0$

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство разности логарифмов $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$:

$\lg \left(\frac{6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x}{25}\right) = x$

По определению десятичного логарифма ($\lg A = B \iff A = 10^B$):

$\frac{6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x}{25} = 10^x$

Умножим обе части на 25:

$6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x = 25 \cdot 10^x$

Представим $20^x$ и $10^x$ через степени с основаниями 2 и 5:

$20^x = (4 \cdot 5)^x = 4^x \cdot 5^x = (2^2)^x \cdot 5^x = 2^{2x} \cdot 5^x$

$10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$

Подставим эти выражения в уравнение:

$6 \cdot 5^x - 25 \cdot (2^{2x} \cdot 5^x) = 25 \cdot (2^x \cdot 5^x)$

Так как $5^x > 0$ при любом $x$, разделим обе части уравнения на $5^x$:

$6 - 25 \cdot 2^{2x} = 25 \cdot 2^x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $2^x$:

$25 \cdot 2^{2x} + 25 \cdot 2^x - 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$, то и $t > 0$.

$25t^2 + 25t - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 25^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-6) = 625 + 600 = 1225 = 35^2$

$t_1 = \frac{-25 + \sqrt{1225}}{2 \cdot 25} = \frac{-25 + 35}{50} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$

$t_2 = \frac{-25 - \sqrt{1225}}{2 \cdot 25} = \frac{-25 - 35}{50} = \frac{-60}{50} = -\frac{6}{5}$

Корень $t_2 = -6/5$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним. Остается один корень $t_1 = 1/5$.

Вернемся к исходной переменной:

$2^x = \frac{1}{5}$

Прологарифмируем обе части по основанию 2:

$x = \log_2\left(\frac{1}{5}\right) = \log_2(5^{-1}) = -\log_2 5$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Подставим $2^x = 1/5$ в неравенство $6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x > 0$.

$20^x = 4^x \cdot 5^x = (2^x)^2 \cdot 5^x = (1/5)^2 \cdot 5^x = \frac{1}{25} \cdot 5^x$.

$6 \cdot 5^x - 25 \cdot \left(\frac{1}{25} \cdot 5^x\right) > 0$

$6 \cdot 5^x - 5^x > 0$

$5 \cdot 5^x > 0$

$5^{x+1} > 0$

Это неравенство верно для любого действительного $x$. Следовательно, найденный корень является решением уравнения.

Ответ: $x = -\log_2 5$.

2) $\lg(2^x + x + 4) = x - x\lg 5$

ОДЗ: $2^x + x + 4 > 0$.

Преобразуем правую часть уравнения:

$x - x\lg 5 = x(1 - \lg 5)$

Используя то, что $1 = \lg 10$, и свойство разности логарифмов:

$x(\lg 10 - \lg 5) = x\lg\left(\frac{10}{5}\right) = x\lg 2$

Используя свойство степени логарифма $k \log_a b = \log_a (b^k)$:

$x\lg 2 = \lg(2^x)$

Теперь исходное уравнение принимает вид:

$\lg(2^x + x + 4) = \lg(2^x)$

Так как логарифмическая функция является монотонной, мы можем приравнять аргументы логарифмов:

$2^x + x + 4 = 2^x$

Вычтем $2^x$ из обеих частей уравнения:

$x + 4 = 0$

$x = -4$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Подставим $x = -4$ в неравенство $2^x + x + 4 > 0$:

$2^{-4} + (-4) + 4 = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$

Поскольку $\frac{1}{16} > 0$, условие ОДЗ выполняется.

Ответ: $x = -4$.