Страница 255 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

821. Сравнить числа:

1) $ \log_3 \frac{6}{5} \text{ и } \log_3 \frac{5}{6} $;

2) $ \log_{\frac{1}{3}} 9 \text{ и } \log_{\frac{1}{3}} 17 $;

3) $ \log_{\frac{1}{2}} e \text{ и } \log_{\frac{1}{2}} \pi $;

4) $ \log_2 \frac{\sqrt{5}}{2} \text{ и } \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2} $.

1) Для сравнения чисел $\log_3 \frac{6}{5}$ и $\log_3 \frac{5}{6}$ воспользуемся свойством монотонности логарифмической функции.

Основание логарифма $a=3$. Поскольку $a > 1$, логарифмическая функция $y = \log_3 x$ является возрастающей. Это значит, что для любых $x_1 > x_2 > 0$ выполняется неравенство $\log_3 x_1 > \log_3 x_2$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма.

Теперь сравним аргументы логарифмов: $\frac{6}{5}$ и $\frac{5}{6}$.

Так как $\frac{6}{5} = 1.2$, а $\frac{5}{6}$ - правильная дробь (меньше 1), то очевидно, что $\frac{6}{5} > \frac{5}{6}$.

Поскольку функция $y=\log_3 x$ возрастающая, из неравенства $\frac{6}{5} > \frac{5}{6}$ следует, что $\log_3 \frac{6}{5} > \log_3 \frac{5}{6}$.

Ответ: $\log_3 \frac{6}{5} > \log_3 \frac{5}{6}$.

2) Для сравнения чисел $\log_{\frac{1}{3}} 9$ и $\log_{\frac{1}{3}} 17$ рассмотрим основание логарифма.

Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$. Поскольку $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ является убывающей. Это значит, что для любых $x_1 > x_2 > 0$ выполняется неравенство $\log_a x_1 < \log_a x_2$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма.

Сравним аргументы логарифмов: $9$ и $17$.

Очевидно, что $9 < 17$.

Так как функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ убывающая, знак неравенства для логарифмов будет противоположным знаку неравенства для их аргументов. Следовательно, $\log_{\frac{1}{3}} 9 > \log_{\frac{1}{3}} 17$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{3}} 9 > \log_{\frac{1}{3}} 17$.

3) Для сравнения чисел $\log_{\frac{1}{2}} e$ и $\log_{\frac{1}{2}} \pi$ рассмотрим основание логарифма.

Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$. Поскольку $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним аргументы логарифмов: число Эйлера $e$ и число пи $\pi$.

Известно, что $e \approx 2.718$ и $\pi \approx 3.141$. Таким образом, $e < \pi$.

Поскольку функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ убывающая, то из неравенства $e < \pi$ следует, что $\log_{\frac{1}{2}} e > \log_{\frac{1}{2}} \pi$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{2}} e > \log_{\frac{1}{2}} \pi$.

4) Для сравнения чисел $\log_2 \frac{\sqrt{5}}{2}$ и $\log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$ воспользуемся свойством монотонности логарифмической функции.

Основание логарифма $a=2$. Поскольку $a > 1$, логарифмическая функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма.

Сравним аргументы логарифмов: $\frac{\sqrt{5}}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как знаменатели дробей одинаковы, для их сравнения достаточно сравнить числители: $\sqrt{5}$ и $\sqrt{3}$.

Поскольку $5 > 3$ и функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для $x>0$, то $\sqrt{5} > \sqrt{3}$.

Следовательно, $\frac{\sqrt{5}}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как функция $y=\log_2 x$ возрастающая, из неравенства $\frac{\sqrt{5}}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2}$ следует, что $\log_2 \frac{\sqrt{5}}{2} > \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\log_2 \frac{\sqrt{5}}{2} > \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.

822. Выяснить, является положительным или отрицательным число:

1) $\log_3 4,5$;

2) $\log_3 0,45$;

3) $\log_5 25,3$;

4) $\log_{0,5} 9,6$.

Для определения знака логарифма $\log_a b$ необходимо проанализировать его основание $a$ и аргумент $b$. Знак логарифма зависит от того, являются ли основание и аргумент больше или меньше единицы. Это следует из свойств монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$.

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
  • Если аргумент $b > 1$, то $\log_a b > \log_a 1 = 0$, следовательно, логарифм положителен.
  • Если $0 < b < 1$, то $\log_a b < \log_a 1 = 0$, следовательно, логарифм отрицателен.
• Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
  • Если аргумент $b > 1$, то $\log_a b < \log_a 1 = 0$, следовательно, логарифм отрицателен.
  • Если $0 < b < 1$, то $\log_a b > \log_a 1 = 0$, следовательно, логарифм положителен.

Простое правило: логарифм положителен, если основание и аргумент находятся "по одну сторону" от единицы (оба больше 1 или оба меньше 1). Логарифм отрицателен, если они находятся "по разные стороны" от единицы.

Рассмотрим число $\log_3 4,5$. Основание логарифма $a=3$, что больше 1. Аргумент логарифма $b=4,5$, что также больше 1. Так как основание и аргумент оба больше 1, число является положительным. Формально, поскольку функция $y=\log_3 x$ возрастающая и $4,5 > 1$, то $\log_3 4,5 > \log_3 1 = 0$.

Ответ: положительное.

Рассмотрим число $\log_3 0,45$. Основание логарифма $a=3$, что больше 1. Аргумент логарифма $b=0,45$, что меньше 1 (и больше 0). Так как основание больше 1, а аргумент меньше 1, число является отрицательным. Формально, поскольку функция $y=\log_3 x$ возрастающая и $0,45 < 1$, то $\log_3 0,45 < \log_3 1 = 0$.

Ответ: отрицательное.

Рассмотрим число $\log_5 25,3$. Основание логарифма $a=5$, что больше 1. Аргумент логарифма $b=25,3$, что также больше 1. Так как и основание, и аргумент больше 1, число является положительным. Формально, поскольку функция $y=\log_5 x$ возрастающая и $25,3 > 1$, то $\log_5 25,3 > \log_5 1 = 0$.

Ответ: положительное.

Рассмотрим число $\log_{0,5} 9,6$. Основание логарифма $a=0,5$, что меньше 1. Аргумент логарифма $b=9,6$, что больше 1. Так как основание меньше 1, а аргумент больше 1, число является отрицательным. Формально, поскольку функция $y=\log_{0,5} x$ убывающая и $9,6 > 1$, то $\log_{0,5} 9,6 < \log_{0,5} 1 = 0$.

Ответ: отрицательное.

823. Сравнить с единицей число x, если:

1) $log_3 x = -0,3;$

2) $log_{\frac{1}{3}} x = 1,7;$

3) $log_2 x = 1,3.$

1) Дано уравнение $log_3 x = -0,3$.

Чтобы сравнить число $x$ с единицей, мы можем сравнить значение его логарифма с логарифмом единицы по тому же основанию. Известно, что логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю: $log_3 1 = 0$.

Теперь сравним данное нам значение $log_3 x$ со значением $log_3 1$. У нас есть $log_3 x = -0,3$ и $log_3 1 = 0$. Так как $-0,3 < 0$, то мы можем записать неравенство: $log_3 x < log_3 1$.

Основание логарифма $a = 3$, и так как $3 > 1$, логарифмическая функция $y = log_3 x$ является возрастающей. Для возрастающей функции меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, из неравенства $log_3 x < log_3 1$ следует, что $x < 1$.

Ответ: $x < 1$.

2) Дано уравнение $log_{1/3} x = 1,7$.

Сравним $x$ с единицей. Для этого представим единицу в виде логарифма с основанием $1/3$: $log_{1/3} 1 = 0$.

Теперь сравним $log_{1/3} x$ и $log_{1/3} 1$. Нам дано $log_{1/3} x = 1,7$. Поскольку $1,7 > 0$, мы имеем неравенство: $log_{1/3} x > log_{1/3} 1$.

Основание логарифма $a = 1/3$. Так как $0 < 1/3 < 1$, логарифмическая функция $y = log_{1/3} x$ является убывающей. Для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Таким образом, из неравенства $log_{1/3} x > log_{1/3} 1$ следует, что $x < 1$.

Ответ: $x < 1$.

3) Дано уравнение $log_2 x = 1,3$.

Для сравнения $x$ с единицей воспользуемся тем, что $log_2 1 = 0$.

Сравним $log_2 x$ со значением $log_2 1$. Нам дано $log_2 x = 1,3$. Так как $1,3 > 0$, получаем неравенство: $log_2 x > log_2 1$.

Основание логарифма $a = 2$. Поскольку $2 > 1$, логарифмическая функция $y = log_2 x$ является возрастающей. Для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Следовательно, из неравенства $log_2 x > log_2 1$ следует, что $x > 1$.

Ответ: $x > 1$.

824. Выяснить, является возрастающей или убывающей функ- ция:

1) $y=\log_{0,075} x$;

2) $y=\log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x$;

3) $y=\lg x$;

4) $y=\ln x$.

Для определения, является ли логарифмическая функция $y = \log_a x$ возрастающей или убывающей, необходимо проанализировать ее основание $a$. Функция является возрастающей, если основание $a > 1$, и убывающей, если $0 < a < 1$.

1) $y = \log_{0,075} x$

Основание логарифма $a = 0,075$.

Так как основание $0 < 0,075 < 1$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

2) $y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x$

Основание логарифма $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Чтобы сравнить основание с единицей, оценим его значение. Так как $\sqrt{3} \approx 1,732$, то $a = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1,732}{2} = 0,866$.

Поскольку $0 < \frac{\sqrt{3}}{2} < 1$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

3) $y = \lg x$

Запись $\lg x$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $y = \log_{10} x$.

Основание логарифма $a = 10$.

Так как основание $a = 10 > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

4) $y = \ln x$

Запись $\ln x$ обозначает натуральный логарифм, то есть логарифм по основанию $e$ (число Эйлера): $y = \log_e x$.

Основание логарифма $a = e \approx 2,718$.

Так как основание $a = e > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

825. Построить график функции:

1) $y = \log_2 x$;

2) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$.

1) $y = \log_2 x$

Для построения графика функции $y = \log_2 x$ проанализируем ее основные свойства. Это логарифмическая функция, основание которой $a=2$. Так как основание $a > 1$, функция является возрастающей.

Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$. $D(y) = (0; +\infty)$.

Область значений: Множество всех действительных чисел. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Точка пересечения с осями: График пересекает ось абсцисс (Ox) в точке $(1; 0)$, так как $y = \log_2 1 = 0$. График не пересекает ось ординат (Oy).

Асимптота: Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$, значение $y \to -\infty$.

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, выбирая значения $x$ как степени числа 2 для удобства вычислений:
- при $x = 0.25$, $y = \log_2 0.25 = \log_2 (2^{-2}) = -2$; точка $(0.25; -2)$.
- при $x = 0.5$, $y = \log_2 0.5 = \log_2 (2^{-1}) = -1$; точка $(0.5; -1)$.
- при $x = 1$, $y = \log_2 1 = 0$; точка $(1; 0)$.
- при $x = 2$, $y = \log_2 2 = 1$; точка $(2; 1)$.
- при $x = 4$, $y = \log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2$; точка $(4; 2)$.
- при $x = 8$, $y = \log_2 8 = \log_2 (2^3) = 3$; точка $(8; 3)$.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Полученная кривая будет расположена справа от оси Oy, будет возрастать на всей своей области определения и приближаться к оси Oy в нижней части плоскости.

Ответ: График функции $y = \log_2 x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точку $(1; 0)$, с областью определения $x>0$ и вертикальной асимптотой $x=0$.

2) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

Для построения графика функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ рассмотрим ее свойства. Это логарифмическая функция, основание которой $a = \frac{1}{2}$. Так как основание $0 < a < 1$, функция является убывающей.

Область определения: $x > 0$. $D(y) = (0; +\infty)$.

Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Точка пересечения с осями: График пересекает ось Ox в точке $(1; 0)$, так как $y = \log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$. График не пересекает ось Oy.

Асимптота: Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$, значение $y \to +\infty$.

Можно также воспользоваться свойством логарифма: $y = \log_{\frac{1}{2}} x = \log_{2^{-1}} x = -\log_2 x$. Это означает, что график функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ симметричен графику $y = \log_2 x$ относительно оси Ox.

Найдем координаты нескольких точек для построения:
- при $x = 0.25$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 0.25 = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^2) = 2$; точка $(0.25; 2)$.
- при $x = 0.5$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 0.5 = 1$; точка $(0.5; 1)$.
- при $x = 1$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$; точка $(1; 0)$.
- при $x = 2$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$; точка $(2; -1)$.
- при $x = 4$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$; точка $(4; -2)$.
- при $x = 8$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 8 = -3$; точка $(8; -3)$.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Полученная кривая будет расположена справа от оси Oy, будет убывать на всей своей области определения и приближаться к оси Oy в верхней части плоскости.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ — это убывающая кривая, проходящая через точку $(1; 0)$, с областью определения $x>0$ и вертикальной асимптотой $x=0$.

826. По графику функции $y = \log_{2} x$ найти приближённо $\log_{2} 3; \log_{2} 0,3; \log_{2} 5; \log_{2} 0,7.$

Для того чтобы найти приближенное значение логарифма по основанию 2 для некоторого числа $a$ (т.е. найти $\log_2 a$) с помощью графика функции $y = \log_2 x$, необходимо выполнить следующие действия:

1. На горизонтальной оси (оси абсцисс $Ox$) найти точку, соответствующую числу $a$.
2. Из этой точки провести вертикальную прямую до ее пересечения с графиком функции $y = \log_2 x$.
3. Из точки пересечения провести горизонтальную прямую до ее пересечения с вертикальной осью (осью ординат $Oy$).
4. Координата точки пересечения на оси $Oy$ и будет являться приближенным значением $\log_2 a$.

Для большей точности при чтении графика полезно помнить некоторые опорные точки, через которые проходит график функции $y = \log_2 x$:

• $(0,25; -2)$, так как $2^{-2} = 0,25$
• $(0,5; -1)$, так как $2^{-1} = 0,5$
• $(1; 0)$, так как $2^0 = 1$
• $(2; 1)$, так как $2^1 = 2$
• $(4; 2)$, так как $2^2 = 4$
• $(8; 3)$, так как $2^3 = 8$

Теперь применим этот метод для нахождения заданных значений.

$\log_2 3$

На оси $Ox$ находим значение $x=3$. Оно находится между $x=2$ и $x=4$. Поднимаем перпендикуляр от точки $x=3$ до пересечения с графиком. Так как $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 4 = 2$, то значение $\log_2 3$ будет находиться в интервале между 1 и 2. Проведя от точки на графике горизонтальную линию к оси $Oy$, мы получим значение, которое немного больше 1,5. Считывая с графика, можно определить, что оно составляет примерно 1,6.

Ответ: $\log_2 3 \approx 1,6$.

$\log_2 0,3$

На оси $Ox$ находим значение $x=0,3$. Оно находится между $x=0,25$ и $x=0,5$. Опускаем перпендикуляр от $x=0,3$ до пересечения с графиком. Мы знаем, что $\log_2 0,25 = -2$ и $\log_2 0,5 = -1$, значит, искомое значение лежит между -2 и -1. Точка $x=0,3$ находится ближе к $x=0,25$, чем к $x=0,5$. Проведя горизонтальную линию от точки на графике к оси $Oy$, получим значение приблизительно -1,7.

Ответ: $\log_2 0,3 \approx -1,7$.

$\log_2 5$

На оси $Ox$ находим значение $x=5$. Оно находится между $x=4$ и $x=8$. Поднимаем перпендикуляр от $x=5$ до пересечения с графиком. Так как $\log_2 4 = 2$ и $\log_2 8 = 3$, значение $\log_2 5$ будет в интервале от 2 до 3. Поскольку $x=5$ находится ближе к $x=4$, то и значение логарифма будет ближе к 2. По графику определяем, что значение примерно равно 2,3.

Ответ: $\log_2 5 \approx 2,3$.

$\log_2 0,7$

На оси $Ox$ находим значение $x=0,7$. Оно находится между $x=0,5$ и $x=1$. Опускаем перпендикуляр от $x=0,7$ до пересечения с графиком. Мы знаем, что $\log_2 0,5 = -1$ и $\log_2 1 = 0$, следовательно, значение $\log_2 0,7$ находится между -1 и 0. Точка $x=0,7$ расположена ближе к $x=1$, чем к $x=0,5$. Проведя горизонтальную линию от точки на графике к оси $Oy$, получим значение примерно -0,5.

Ответ: $\log_2 0,7 \approx -0,5$.

827. Изобразить схематически график функции:

1) $y = \lg x$;

2) $y = \ln x$;

3) $y = \log_{0.4} x$;

4) $y = \log_{\frac{1}{5}} x$.

Для построения схематических графиков логарифмических функций вида $y = \log_a x$ необходимо помнить их основные свойства:

• Область определения функции: $x > 0$. Это означает, что все графики будут находиться в правой полуплоскости (справа от оси $Oy$).
• Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой для всех графиков.
• Все графики проходят через точку $(1, 0)$, так как $\log_a 1 = 0$ для любого основания $a$.
• Поведение функции зависит от основания $a$:
  • Если $a > 1$, функция является возрастающей.
  • Если $0 < a < 1$, функция является убывающей.

1) $y = \lg x$

Данная функция является десятичным логарифмом, то есть логарифмом по основанию 10: $y = \log_{10} x$.

Основание $a = 10$. Поскольку $10 > 1$, функция является возрастающей.

График проходит через ключевые точки:

• $(1, 0)$, так как $\lg 1 = 0$.
• $(10, 1)$, так как $\lg 10 = 1$.

При приближении $x$ к нулю справа ($x \to 0^+$), значение $y$ стремится к минус бесконечности ($y \to -\infty$).

Схематически график представляет собой кривую, которая начинается в нижней части, близко к оси $Oy$, плавно возрастает, пересекая ось $Ox$ в точке $(1, 0)$, и продолжает медленно расти вправо и вверх.

Ответ: График функции $y=\lg x$ — это возрастающая кривая, определенная для $x>0$. Она проходит через точки $(1, 0)$ и $(10, 1)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

2) $y = \ln x$

Данная функция является натуральным логарифмом, то есть логарифмом по основанию $e$: $y = \log_e x$, где $e \approx 2.718$.

Основание $a = e$. Поскольку $e > 1$, функция является возрастающей.

График проходит через ключевые точки:

• $(1, 0)$, так как $\ln 1 = 0$.
• $(e, 1)$, так как $\ln e = 1$.

При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.

Схематически график похож на график $y = \lg x$. Он также возрастает и проходит через точку $(1, 0)$. Однако, так как $e < 10$, график $y=\ln x$ растет "быстрее", чем $y = \lg x$, и при $x > 1$ расположен выше него.

Ответ: График функции $y=\ln x$ — это возрастающая кривая, определенная для $x>0$. Она проходит через точки $(1, 0)$ и $(e, 1)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

3) $y = \log_{0.4} x$

Это логарифмическая функция с основанием $a=0.4$.

Поскольку $0 < 0.4 < 1$, функция является убывающей.

График проходит через ключевые точки:

• $(1, 0)$, так как $\log_{0.4} 1 = 0$.
• $(0.4, 1)$, так как $\log_{0.4} 0.4 = 1$.

При приближении $x$ к нулю справа ($x \to 0^+$), значение $y$ стремится к плюс бесконечности ($y \to +\infty$).

Схематически график представляет собой кривую, которая начинается в верхней части, близко к оси $Oy$, плавно убывает, пересекая ось $Ox$ в точке $(1, 0)$, и продолжает убывать вправо и вниз.

Ответ: График функции $y=\log_{0.4} x$ — это убывающая кривая, определенная для $x>0$. Она проходит через точки $(1, 0)$ и $(0.4, 1)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

4) $y = \log_{\frac{1}{5}} x$

Это логарифмическая функция с основанием $a = \frac{1}{5} = 0.2$.

Поскольку $0 < 0.2 < 1$, функция является убывающей.

График проходит через ключевые точки:

• $(1, 0)$, так как $\log_{\frac{1}{5}} 1 = 0$.
• $(\frac{1}{5}, 1)$, так как $\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{5} = 1$.

При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.

Схематически график похож на график $y = \log_{0.4} x$. Он также убывает и проходит через точку $(1, 0)$. Поскольку основание $0.2$ меньше, чем $0.4$, график $y = \log_{\frac{1}{5}} x$ убывает "круче", чем график $y = \log_{0.4} x$.

Ответ: График функции $y=\log_{\frac{1}{5}} x$ — это убывающая кривая, определенная для $x>0$. Она проходит через точки $(1, 0)$ и $(\frac{1}{5}, 1)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.