Страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить с помощью микрокалькулятора (795–796).

795. 1) $lg 23$;

2) $lg 7$;

3) $lg 0,37$;

4) $lg \frac{2}{3}$.

Для решения данной задачи необходимо вычислить значения десятичных логарифмов (логарифмов по основанию 10, обозначаемых как $lg$) с помощью калькулятора.

1)

Необходимо вычислить десятичный логарифм числа 23.

$lg \, 23 = \log_{10}(23)$

Используя калькулятор, вводим число 23 и нажимаем функцию $log$ (или $lg$). Получаем приближенное значение:

$lg \, 23 \approx 1,3617278...$

Округлим результат до четырех знаков после запятой.

Ответ: $1,3617$.

2)

Необходимо вычислить десятичный логарифм числа 7.

$lg \, 7 = \log_{10}(7)$

С помощью калькулятора находим:

$lg \, 7 \approx 0,8450980...$

Округляем результат до четырех знаков после запятой.

Ответ: $0,8451$.

3)

Необходимо вычислить десятичный логарифм числа 0,37. Так как $0,37 < 1$, значение логарифма будет отрицательным.

$lg \, 0,37 = \log_{10}(0,37)$

Вычисляем на калькуляторе:

$lg \, 0,37 \approx -0,4317982...$

Округляем результат до четырех знаков после запятой.

Ответ: $-0,4318$.

4)

Необходимо вычислить десятичный логарифм дроби $\frac{2}{3}$. Так как $\frac{2}{3} < 1$, значение логарифма будет отрицательным.

$lg \, \frac{2}{3} = \log_{10}(\frac{2}{3})$

Сначала можно вычислить значение дроби: $\frac{2}{3} \approx 0,66666...$. Затем найти логарифм этого числа.

$lg \, \frac{2}{3} \approx lg(0,66666...) \approx -0,1760912...$

Альтернативно, можно использовать свойство логарифма частного: $lg(\frac{a}{b}) = lg(a) - lg(b)$.

$lg \, \frac{2}{3} = lg \, 2 - lg \, 3 \approx 0,30103 - 0,47712 \approx -0,17609$

Округляем результат до четырех знаков после запятой.

Ответ: $-0,1761$.

796. 1) $\ln 81$;

2) $\ln 2$;

3) $\ln 0,17$;

4) $\ln \frac{6}{7}$.

1) ln 81;
Для определения знака натурального логарифма $\ln(x)$ необходимо сравнить его аргумент $x$ с единицей. Основание натурального логарифма, число Эйлера $e$, больше единицы ($e \approx 2.718$). Для логарифмов с основанием больше 1 справедливо правило: если аргумент больше 1, логарифм положителен; если аргумент находится в интервале от 0 до 1, логарифм отрицателен, так как $\ln(1)=0$.
В данном случае аргумент $x=81$. Так как $81 > 1$, то $\ln(81) > 0$.
Ответ: положительное число.

2) ln 2;
Аргумент этого логарифма равен 2. Поскольку основание $e > 1$ и аргумент $2 > 1$, значение выражения $\ln(2)$ будет положительным.
Ответ: положительное число.

3) ln 0,17;
Аргумент логарифма равен $0,17$. Так как основание $e > 1$, а аргумент удовлетворяет неравенству $0 < 0,17 < 1$, значение выражения $\ln(0,17)$ является отрицательным.
Ответ: отрицательное число.

4) ln $\frac{6}{7}$.
Аргумент логарифма представлен в виде дроби $\frac{6}{7}$. Сравним эту дробь с единицей. Так как числитель (6) меньше знаменателя (7), то дробь меньше единицы: $0 < \frac{6}{7} < 1$.
Поскольку основание $e > 1$, а аргумент меньше 1, значение выражения $\ln(\frac{6}{7})$ отрицательно.
Ответ: отрицательное число.

797. Выразить данный логарифм через десятичный и вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:

1) $ \log_7 25; $

2) $ \log_5 8; $

3) $ \log_{0,7} 9; $

4) $ \log_{1,1} 0,23. $

Для решения задачи воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма. Чтобы выразить логарифм через десятичный (логарифм по основанию 10, обозначаемый как $\lg$), мы используем формулу:

$ \log_a b = \frac{\lg b}{\lg a} $

После преобразования мы вычислим значение на микрокалькуляторе и округлим результат до сотых (с точностью до 0,01).

1)

Выразим $ \log_7 25 $ через десятичный логарифм:

$ \log_7 25 = \frac{\lg 25}{\lg 7} $

Теперь вычислим на калькуляторе:

$ \log_7 25 \approx \frac{1,39794}{0,84510} \approx 1,65416... $

Округляя до сотых, получаем 1,65.

Ответ: $ \log_7 25 = \frac{\lg 25}{\lg 7} \approx 1,65 $.

2)

Выразим $ \log_5 8 $ через десятичный логарифм:

$ \log_5 8 = \frac{\lg 8}{\lg 5} $

Вычислим на калькуляторе:

$ \log_5 8 \approx \frac{0,90309}{0,69897} \approx 1,29202... $

Округляя до сотых, получаем 1,29.

Ответ: $ \log_5 8 = \frac{\lg 8}{\lg 5} \approx 1,29 $.

3)

Выразим $ \log_{0,7} 9 $ через десятичный логарифм:

$ \log_{0,7} 9 = \frac{\lg 9}{\lg 0,7} $

Вычислим на калькуляторе:

$ \log_{0,7} 9 \approx \frac{0,95424}{-0,15490} \approx -6,16036... $

Округляя до сотых, получаем -6,16.

Ответ: $ \log_{0,7} 9 = \frac{\lg 9}{\lg 0,7} \approx -6,16 $.

4)

Выразим $ \log_{1,1} 0,23 $ через десятичный логарифм:

$ \log_{1,1} 0,23 = \frac{\lg 0,23}{\lg 1,1} $

Вычислим на калькуляторе:

$ \log_{1,1} 0,23 \approx \frac{-0,63827}{0,04139} \approx -15,41894... $

Округляя до сотых, получаем -15,42.

Ответ: $ \log_{1,1} 0,23 = \frac{\lg 0,23}{\lg 1,1} \approx -15,42 $.

798. Выразить данный логарифм через натуральный и вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:

1) $\log_7 5$;

2) $\log_8 15$;

3) $\log_{0.7} 9$;

4) $\log_{1.1} 0.23$.

Для выражения данного логарифма через натуральный логарифм (обозначается как $\ln$) и его последующего вычисления используется формула перехода к новому основанию: $log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$. Расчеты производятся с точностью до 0,01.

1) Выразим $log_7 5$ через натуральный логарифм и вычислим его значение:
$log_7 5 = \frac{\ln 5}{\ln 7} \approx \frac{1,6094}{1,9459} \approx 0,8271$.
Округляя результат до сотых, получаем 0,83.
Ответ: $\frac{\ln 5}{\ln 7} \approx 0,83$.

2) Выразим $log_8 15$ через натуральный логарифм и вычислим его значение:
$log_8 15 = \frac{\ln 15}{\ln 8} \approx \frac{2,7081}{2,0794} \approx 1,3023$.
Округляя результат до сотых, получаем 1,30.
Ответ: $\frac{\ln 15}{\ln 8} \approx 1,30$.

3) Выразим $log_{0,7} 9$ через натуральный логарифм и вычислим его значение:
$log_{0,7} 9 = \frac{\ln 9}{\ln 0,7} \approx \frac{2,1972}{-0,3567} \approx -6,1601$.
Округляя результат до сотых, получаем -6,16.
Ответ: $\frac{\ln 9}{\ln 0,7} \approx -6,16$.

4) Выразим $log_{1,1} 0,23$ через натуральный логарифм и вычислим его значение:
$log_{1,1} 0,23 = \frac{\ln 0,23}{\ln 1,1} \approx \frac{-1,4697}{0,0953} \approx -15,4218$.
Округляя результат до сотых, получаем -15,42.
Ответ: $\frac{\ln 0,23}{\ln 1,1} \approx -15,42$.

799. Выразить данный логарифм через логарифм с основанием 7:

1) $\log_5 3$;

2) $\lg 6$;

3) $\log_2 7$;

4) $\log_5 \frac{1}{3}$;

5) $\lg 7$;

6) $\log_3 7$.

Для решения всех пунктов задачи используется формула перехода к новому основанию логарифма: $$ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $$В данном случае, нам нужно выразить логарифмы через логарифм с основанием $c = 7$.

1) Для выражения $\log_5 3$ через логарифм с основанием 7, воспользуемся формулой перехода к новому основанию. В нашем случае $a = 3$, $b = 5$, а новое основание $c = 7$. Подставляем эти значения в формулу:

$\log_5 3 = \frac{\log_7 3}{\log_7 5}$

Ответ: $\frac{\log_7 3}{\log_7 5}$.

2) Выражение $\lg 6$ представляет собой десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg 6 = \log_{10} 6$. Применяем формулу перехода к основанию 7, где $a = 6$, $b = 10$, $c = 7$:

$\log_{10} 6 = \frac{\log_7 6}{\log_7 10}$

Ответ: $\frac{\log_7 6}{\log_7 10}$.

3) Для выражения $\log_2 7$ через логарифм с основанием 7, используем ту же формулу. Здесь $a = 7$, $b = 2$, $c = 7$.

$\log_2 7 = \frac{\log_7 7}{\log_7 2}$

Так как логарифм, у которого основание и аргумент совпадают, равен единице ($\log_c c = 1$), то $\log_7 7 = 1$. Следовательно:

$\log_2 7 = \frac{1}{\log_7 2}$

Это также следует из свойства $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.

Ответ: $\frac{1}{\log_7 2}$.

4) Для выражения $\log_5 \frac{1}{3}$ используем формулу перехода к основанию 7. Здесь $a = \frac{1}{3}$, $b = 5$, $c = 7$.

$\log_5 \frac{1}{3} = \frac{\log_7 \frac{1}{3}}{\log_7 5}$

Используя свойство логарифма степени $\log_c (x^k) = k \log_c x$, мы можем упростить числитель. Так как $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, то:

$\log_7 \frac{1}{3} = \log_7 (3^{-1}) = -1 \cdot \log_7 3 = -\log_7 3$

Подставляем это в наше выражение:

$\log_5 \frac{1}{3} = \frac{-\log_7 3}{\log_7 5} = -\frac{\log_7 3}{\log_7 5}$

Ответ: $-\frac{\log_7 3}{\log_7 5}$.

5) Выражение $\lg 7$ — это десятичный логарифм $\log_{10} 7$. Применяем формулу перехода к основанию 7. Здесь $a = 7$, $b = 10$, $c = 7$.

$\log_{10} 7 = \frac{\log_7 7}{\log_7 10}$

Поскольку $\log_7 7 = 1$, получаем:

$\log_{10} 7 = \frac{1}{\log_7 10}$

Ответ: $\frac{1}{\log_7 10}$.

6) Для выражения $\log_3 7$ применяем формулу перехода к основанию 7. Здесь $a = 7$, $b = 3$, $c = 7$.

$\

800. Известно, что $ \lg 2 \approx 0,301 $, $ \lg 5 \approx 0,699 $, $ \lg 3 \approx 0,477 $. Найти приближённое значение:

1) $ \log_5 2; $

2) $ \log_2 5; $

3) $ \log_3 2; $

4) $ \log_2 3; $

5) $ \log_2 \sqrt{5}; $

6) $ \log_5 0,25; $

7) $ \log_3 0,5; $

8) $ \log_3 0,2. $

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $log_b a = \frac{log_c a}{log_c b}$. В качестве нового основания `c` будем использовать 10, так как в условии даны значения десятичных логарифмов (lg). Таким образом, формула примет вид: $log_b a = \frac{lg a}{lg b}$.

1) log₅ 2
Применяем формулу перехода к основанию 10:
$log_5 2 = \frac{lg 2}{lg 5}$
Подставляем известные значения:
$log_5 2 \approx \frac{0.301}{0.699} \approx 0.4306...$
Округляя до тысячных, получаем 0,431.
Ответ: $log_5 2 \approx 0.431$

2) log₂ 5
Используем формулу перехода к основанию 10:
$log_2 5 = \frac{lg 5}{lg 2}$
Подставляем известные значения:
$log_2 5 \approx \frac{0.699}{0.301} \approx 2.3222...$
Заметим также, что $log_2 5 = \frac{1}{log_5 2} \approx \frac{1}{0.431} \approx 2.320...$ (расхождение из-за раннего округления). Точный расчет дает 2,322.
Ответ: $log_2 5 \approx 2.322$

3) log₃ 2
Используем формулу перехода к основанию 10:
$log_3 2 = \frac{lg 2}{lg 3}$
Подставляем известные значения:
$log_3 2 \approx \frac{0.301}{0.477} \approx 0.6309...$
Округляя до тысячных, получаем 0,631.
Ответ: $log_3 2 \approx 0.631$

4) log₂ 3
Используем формулу перехода к основанию 10:
$log_2 3 = \frac{lg 3}{lg 2}$
Подставляем известные значения:
$log_2 3 \approx \frac{0.477}{0.301} \approx 1.5847...$
Округляя до тысячных, получаем 1,585.
Ответ: $log_2 3 \approx 1.585$

5) log₂ √5
Сначала воспользуемся свойством логарифма степени: $log_a (b^p) = p \cdot log_a b$.
$log_2 \sqrt{5} = log_2 (5^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} log_2 5$
Из пункта 2 мы знаем, что $log_2 5 \approx 2.322$.
$log_2 \sqrt{5} \approx \frac{1}{2} \cdot 2.322 = 1.161$
Ответ: $log_2 \sqrt{5} \approx 1.161$

6) log₅ 0,25
Представим 0,25 в виде степени числа 2: $0.25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
$log_5 0.25 = log_5 (2^{-2}) = -2 \cdot log_5 2$
Из пункта 1 мы знаем, что $log_5 2 \approx 0.431$.
$log_5 0.25 \approx -2 \cdot 0.431 = -0.862$
(Более точный расчет: $-2 \cdot \frac{0.301}{0.699} \approx -0.8612... \approx -0.861$)
Ответ: $log_5 0.25 \approx -0.861$

7) log₃ 0,5
Представим 0,5 в виде степени числа 2: $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
$log_3 0.5 = log_3 (2^{-1}) = -1 \cdot log_3 2 = -log_3 2$
Из пункта 3 мы знаем, что $log_3 2 \approx 0.631$.
$log_3 0.5 \approx -0.631$
Ответ: $log_3 0.5 \approx -0.631$

8) log₃ 0,2
Представим 0,2 в виде дроби и используем свойство логарифма частного: $0.2 = \frac{2}{10}$.
$log_3 0.2 = log_3 (\frac{2}{10}) = \frac{lg(\frac{2}{10})}{lg 3} = \frac{lg 2 - lg 10}{lg 3}$
Так как $lg 10 = 1$, получаем:
$log_3 0.2 \approx \frac{0.301 - 1}{0.477} = \frac{-0.699}{0.477} \approx -1.4654...$
Округляя до тысячных, получаем -1,465.
(Альтернативный способ: $0.2 = \frac{1}{5}$, тогда $log_3 0.2 = log_3 (\frac{1}{5}) = -log_3 5 = -\frac{lg 5}{lg 3} \approx -\frac{0.699}{0.477} \approx -1.465$)
Ответ: $log_3 0.2 \approx -1.465$

801. Вычислить:

1) $5^{\frac{\lg 625}{\lg 25}}$

2) $\log_{\frac{1}{4}}(\log_3 4 \cdot \log_2 3)$

Чтобы вычислить $5^{\frac{\lg 625}{\lg 25}}$, сначала упростим показатель степени.
Выражение в показателе $\frac{\lg 625}{\lg 25}$ представляет собой частное десятичных логарифмов. Используем формулу перехода к новому основанию логарифма: $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$.
Получаем: $\frac{\lg 625}{\lg 25} = \log_{25} 625$.
Так как $25^2 = 625$, то $\log_{25} 625 = 2$.
Теперь подставим найденное значение показателя степени в исходное выражение:
$5^2 = 25$.

Ответ: 25

Чтобы вычислить $\log_{\frac{1}{4}}(\log_3 4 \cdot \log_2 3)$, сначала упростим выражение в скобках: $\log_3 4 \cdot \log_2 3$.
Воспользуемся свойством логарифмов, которое следует из формулы перехода к новому основанию: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$.
Поменяем множители местами для удобства применения формулы: $\log_2 3 \cdot \log_3 4$.
Применяя свойство, получаем: $\log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 4$.
Значение $\log_2 4$ равно 2, так как $2^2=4$.
Теперь исходное выражение сводится к $\log_{\frac{1}{4}}(2)$.
Обозначим этот логарифм за $x$: $\log_{\frac{1}{4}}(2) = x$.
По определению логарифма, $(\frac{1}{4})^x = 2$.
Представим $\frac{1}{4}$ как степень двойки: $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Уравнение принимает вид: $(2^{-2})^x = 2^1$.
При возведении степени в степень показатели перемножаются: $2^{-2x} = 2^1$.
Приравнивая показатели степеней, получаем: $-2x = 1$, откуда $x = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

802. Решить уравнение:

1) $\log_5 x = 2 \log_5 3 + 4 \log_{25} 2;$

2) $\log_2 x - 2 \log_{\frac{1}{2}} x = 9;$

3) $\log_3 x = 9 \log_{27} 8 - 3 \log_3 4;$

4) $\log_9 x^2 + \log_{\sqrt{3}} x = 3;$

5) $\log_2 x + \log_8 x = 8;$

6) $\log_4 x - \log_{16} x = \frac{1}{4}.$

1) Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$.
Преобразуем правую часть уравнения, приведя все логарифмы к одному основанию 5. Для этого используем свойства логарифмов: $n \log_a b = \log_a b^n$ и $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.
$2 \log_{5} 3 = \log_{5} 3^2 = \log_{5} 9$.
$4 \log_{25} 2 = 4 \log_{5^2} 2 = 4 \cdot \frac{1}{2} \log_5 2 = 2 \log_5 2 = \log_5 2^2 = \log_5 4$.
Теперь подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:
$\log_{5} x = \log_{5} 9 + \log_{5} 4$
Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_{5} x = \log_{5} (9 \cdot 4)$
$\log_{5} x = \log_{5} 36$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x = 36$.
Полученное значение $x = 36$ удовлетворяет ОДЗ ($36 > 0$).
Ответ: 36.

2) Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Приведем все логарифмы к основанию 2. Основание второго логарифма $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{2^{-1}} x = \frac{1}{-1} \log_2 x = -\log_2 x$.
Подставим преобразованное выражение в исходное уравнение:
$\log_2 x - 2(-\log_2 x) = 9$
$\log_2 x + 2\log_2 x = 9$
$3\log_2 x = 9$
$\log_2 x = 3$
По определению логарифма, $x = 2^3 = 8$.
Корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 > 0$).
Ответ: 8.

3) Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Приведем правую часть уравнения к логарифму с основанием 3.
Преобразуем первое слагаемое: $27 = 3^3$, поэтому $\log_{27} 8 = \log_{3^3} 8 = \frac{1}{3} \log_3 8$.
Тогда $9 \log_{27} 8 = 9 \cdot \frac{1}{3} \log_3 8 = 3 \log_3 8 = \log_3 8^3 = \log_3 512$.
Преобразуем второе слагаемое: $3 \log_3 4 = \log_3 4^3 = \log_3 64$.
Уравнение принимает вид: $\log_3 x = \log_3 512 - \log_3 64$.
Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$:
$\log_3 x = \log_3 \left(\frac{512}{64}\right) = \log_3 8$.
Следовательно, $x = 8$.
Корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 > 0$).
Ответ: 8.

4) Область допустимых значений (ОДЗ): из $\log_9 x^2$ следует $x^2 > 0 \implies x \ne 0$, а из $\log_{\sqrt{3}} x$ следует $x > 0$. Объединяя, получаем ОДЗ: $x > 0$.
Приведем все логарифмы к основанию 3. Заметим, что $9 = 3^2$ и $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
$\log_9 x^2 = \log_{3^2} x^2 = \frac{2}{2} \log_3 |x|$. Так как по ОДЗ $x > 0$, то $|x|=x$, поэтому $\log_9 x^2 = \log_3 x$.
$\log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_3 x = 2 \log_3 x$.
Подставим в уравнение:
$\log_3 x + 2 \log_3 x = 3$
$3 \log_3 x = 3$
$\log_3 x = 1$
$x = 3^1 = 3$.
Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0$).
Ответ: 3.

5) Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Приведем все логарифмы к основанию 2. Так как $8 = 2^3$, то $\log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3} \log_2 x$.
Подставим в уравнение:
$\log_2 x + \frac{1}{3} \log_2 x = 8$
Сложим коэффициенты при логарифме: $(1 + \frac{1}{3})\log_2 x = 8$
$\frac{4}{3} \log_2 x = 8$
$\log_2 x = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6$
$x = 2^6 = 64$.
Корень $x=64$ удовлетворяет ОДЗ ($64 > 0$).
Ответ: 64.

6) Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Приведем все логарифмы к основанию 4. Так как $16 = 4^2$, то $\log_{16} x = \log_{4^2} x = \frac{1}{2} \log_4 x$.
Подставим в уравнение:
$\log_4 x - \frac{1}{2} \log_4 x = \frac{1}{4}$
$(1 - \frac{1}{2})\log_4 x = \frac{1}{4}$
$\frac{1}{2} \log_4 x = \frac{1}{4}$
$\log_4 x = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$
$x = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.
Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 > 0$).
Ответ: 2.

803. Найти $\log_3 39$, $\log_{27} 13$, $\log_{27} 39$, $\log_9 117$, если $\log_3 13 = m$.

$\log_3 39$

Для нахождения значения данного логарифма воспользуемся свойством логарифма произведения: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$.
Представим число 39 в виде произведения $3 \cdot 13$.
$\log_3 39 = \log_3(3 \cdot 13) = \log_3 3 + \log_3 13$.
Мы знаем, что логарифм числа по тому же основанию равен единице, то есть $\log_3 3 = 1$.
По условию задачи, $\log_3 13 = m$.
Подставив известные значения, получаем:
$\log_3 39 = 1 + m$.

Ответ: $1 + m$.

$\log_{27} 13$

Для решения применим формулу перехода к новому основанию логарифма: $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. В качестве нового основания выберем 3.
$\log_{27} 13 = \frac{\log_3 13}{\log_3 27}$.
Из условия нам известно, что $\log_3 13 = m$.
Знаменатель можно вычислить следующим образом: $\log_3 27 = \log_3 (3^3) = 3 \cdot \log_3 3 = 3 \cdot 1 = 3$.
Таким образом, получаем:
$\log_{27} 13 = \frac{m}{3}$.

Ответ: $\frac{m}{3}$.

$\log_{27} 39$

Снова воспользуемся формулой перехода к основанию 3: $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$.
$\log_{27} 39 = \frac{\log_3 39}{\log_3 27}$.
Из решения первого подпункта мы знаем, что $\log_3 39 = 1 + m$.
Из решения второго подпункта известно, что $\log_3 27 = 3$.
Подставим найденные значения в формулу:
$\log_{27} 39 = \frac{1+m}{3}$.

Ответ: $\frac{1+m}{3}$.

$\log_9 117$

Перейдем к ло

804. Найти $log_{49} 28$, если $log_7 2 = m$.

Для того чтобы найти значение выражения $\log_{49} 28$, имея известное значение $\log_7 2 = m$, нам необходимо выразить искомый логарифм через данный. Для этого приведем логарифм $\log_{49} 28$ к основанию 7, так как оно используется в данном нам выражении.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. Применим ее для нашего случая, выбрав в качестве нового основания $c=7$: $$ \log_{49} 28 = \frac{\log_7 28}{\log_7 49} $$

Теперь поочередно упростим выражения в числителе и знаменателе полученной дроби.

Знаменатель $\log_7 49$ легко вычислить, так как $49 = 7^2$. Следовательно, по определению логарифма или по свойству $\log_a(a^k)=k$: $$ \log_7 49 = \log_7 (7^2) = 2 $$

Для преобразования числителя $\log_7 28$ представим число 28 как произведение $28 = 4 \times 7$. Используя свойство логарифма произведения ($\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$), получим: $$ \log_7 28 = \log_7 (4 \times 7) = \log_7 4 + \log_7 7 $$

Мы знаем, что $\log_7 7 = 1$. Для $\log_7 4$ представим 4 как $2^2$ и воспользуемся свойством логарифма степени ($\log_a(x^k) = k \log_a x$): $$ \log_7 4 = \log_7(2^2) = 2\log_7 2 $$

Согласно условию задачи, $\log_7 2 = m$, поэтому $2\log_7 2 = 2m$.

Таким образом, выражение для числителя принимает вид: $$ \log_7 28 = \log_7 4 + \log_7 7 = 2m + 1 $$

Теперь, подставив найденные значения числителя ($1 + 2m$) и знаменателя (2) в исходную формулу, получаем окончательный результат: $$ \log_{49} 28 = \frac{1 + 2m}{2} $$

Ответ: $\frac{1 + 2m}{2}$

805. Найти $\log_{15} 30$, если $\lg 3 = m$, $\lg 5 = n$.

Чтобы найти значение выражения $\log_{15} 30$, используя данные $\lg 3 = m$ и $\lg 5 = n$, необходимо привести все логарифмы к одному основанию. В данном случае удобно использовать десятичный логарифм ($\lg$), так как именно для него заданы значения.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$.
Применим эту формулу к нашему выражению, выбрав в качестве нового основания $c=10$:
$\log_{15} 30 = \frac{\lg 30}{\lg 15}$

Теперь выразим числитель и знаменатель через $m$ и $n$, используя свойства логарифмов.

Сначала преобразуем числитель $\lg 30$. Используя свойство логарифма произведения ($\log(xy) = \log x + \log y$), представим число 30 как произведение $3 \times 10$:
$\lg 30 = \lg(3 \times 10) = \lg 3 + \lg 10$
Из условия мы знаем, что $\lg 3 = m$. По определению десятичного логарифма, $\lg 10 = \log_{10} 10 = 1$.
Таким образом, числитель равен: $\lg 30 = m + 1$.

Теперь преобразуем знаменатель $\lg 15$. Представим число 15 как произведение $3 \times 5$:
$\lg 15 = \lg(3 \times 5) = \lg 3 + \lg 5$
Из условия $\lg 3 = m$ и $\lg 5 = n$.
Таким образом, знаменатель равен: $\lg 15 = m + n$.

Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя обратно в формулу перехода к новому основанию:
$\log_{15} 30 = \frac{\lg 30}{\lg 15} = \frac{m + 1}{m + n}$

Ответ: $\frac{m + 1}{m + n}$

806. Найти $log_{24} 72$, если $log_6 2 = m$.

Для решения этой задачи необходимо выразить $ \log_{24} 72 $ через $ m = \log_6 2 $. Мы будем использовать формулу перехода к новому основанию логарифма: $ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $. В качестве нового основания $c$ удобно выбрать число, являющееся простым множителем для чисел, входящих в задачу (6, 2, 24, 72). Такими множителями являются 2 и 3. Выберем в качестве нового основания число 2.

1. Выразим $ \log_2 3 $ через $m$.
По условию $ \log_6 2 = m $.
Применим формулу перехода к основанию 2: $$ \log_6 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 6} $$ Мы знаем, что $ \log_2 2 = 1 $ и $ \log_2 6 = \log_2 (2 \cdot 3) = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + \log_2 3 $.
Подставляем эти значения в формулу: $$ m = \frac{1}{1 + \log_2 3} $$ Теперь из этого уравнения выразим $ \log_2 3 $: $$ m(1 + \log_2 3) = 1 $$ $$ 1 + \log_2 3 = \frac{1}{m} $$ $$ \log_2 3 = \frac{1}{m} - 1 = \frac{1 - m}{m} $$

2. Преобразуем искомое выражение $ \log_{24} 72 $.
Снова используем формулу перехода к основанию 2: $$ \log_{24} 72 = \frac{\log_2 72}{\log_2 24} $$ Разложим числа 72 и 24 на простые множители, чтобы упростить логарифмы:

• $ 72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2 $
• $ 24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 $

Теперь преобразуем числитель и знаменатель дроби, используя свойства логарифмов ($ \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y $ и $ \log_a(x^k) = k\log_a x $):
Числитель: $$ \log_2 72 = \log_2 (2^3 \cdot 3^2) = \log_2(2^3) + \log_2(3^2) = 3\log_2 2 + 2\log_2 3 = 3 \cdot 1 + 2\log_2 3 = 3 + 2\log_2 3 $$ Знаменатель: $$ \log_2 24 = \log_2 (2^3 \cdot 3) = \log_2(2^3) + \log_2 3 = 3\log_2 2 + \log_2 3 = 3 \cdot 1 + \log_2 3 = 3 + \log_2 3 $$

3. Подставим выражение для $ \log_2 3 $ и найдем ответ.
Теперь в полученные выражения для числителя и знаменателя подставим $ \log_2 3 = \frac{1 - m}{m} $:
Числитель: $$ 3 + 2\log_2 3 = 3 + 2\left(\frac{1 - m}{m}\right) = \frac{3m}{m} + \frac{2(1-m)}{m} = \frac{3m + 2 - 2m}{m} = \frac{m + 2}{m} $$ Знаменатель: $$ 3 + \log_2 3 = 3 + \frac{1 - m}{m} = \frac{3m}{m} + \frac{1 - m}{m} = \frac{3m + 1 - m}{m} = \frac{2m + 1}{m} $$ Наконец, найдем значение исходного выражения: $$ \log_{24} 72 = \frac{\log_2 72}{\log_2 24} = \frac{\frac{m + 2}{m}}{\frac{2m + 1}{m}} $$ Сократив $m$ в числителе и знаменателе, получим: $$ \log_{24} 72 = \frac{m + 2}{2m + 1} $$

Ответ: $ \frac{m+2}{2m+1} $

807. Найти $\log_{36} 9$, если $\log_{36} 8 = m$.

Для решения данной задачи мы выразим искомый логарифм $\log_{36} 9$ через известный логарифм $\log_{36} 8 = m$, используя свойства логарифмов.

1. Преобразуем данное по условию выражение. Заметим, что основание $36 = 6^2$ и аргумент $8 = 2^3$. Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b^p = \frac{p}{k} \log_a b$: $m = \log_{36} 8 = \log_{6^2} 2^3 = \frac{3}{2} \log_6 2$.

Из этого равенства выразим $\log_6 2$: $\log_6 2 = \frac{2m}{3}$.

2. Теперь аналогичным образом преобразуем искомое выражение $\log_{36} 9$. Аргумент $9 = 3^2$, а основание $36 = 6^2$: $\log_{36} 9 = \log_{6^2} 3^2 = \frac{2}{2} \log_6 3 = \log_6 3$.

3. Задача сводится к нахождению значения $\log_6 3$. Мы можем найти связь между $\log_6 2$ и $\log_6 3$, используя основное свойство логарифмов. Известно, что $\log_6 6 = 1$. Представим $6$ как произведение $2 \cdot 3$: $\log_6 6 = \log_6 (2 \cdot 3) = \log_6 2 + \log_6 3$.

Отсюда получаем равенство: $1 = \log_6 2 + \log_6 3$.

4. Выразим $\log_6 3$ и подставим в него найденное на первом шаге выражение для $\log_6 2$: $\log_6 3 = 1 - \log_6 2 = 1 - \frac{2m}{3}$.

5. Так как мы установили, что $\log_{36} 9 = \log_6 3$, то искомое значение равно: $\log_{36} 9 = 1 - \frac{2m}{3}$.

Приведем выражение к общему знаменателю: $1 - \frac{2m}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2m}{3} = \frac{3 - 2m}{3}$.

Ответ: $\frac{3 - 2m}{3}$.

808. Выразить $ \log_{30} 8 $ через $a$ и $b$, если $a = \lg 5$, $b = \lg 3$.

По условию задачи даны два выражения: $a = \lg 5$ и $b = \lg 3$. Запись $\lg$ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Таким образом, $a = \log_{10} 5$ и $b = \log_{10} 3$.
Необходимо выразить $\log_{30} 8$ через $a$ и $b$.
Для этого воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_c x = \frac{\log_d x}{\log_d c}$. Перейдем к основанию 10 (десятичному логарифму):
$\log_{30} 8 = \frac{\log_{10} 8}{\log_{10} 30} = \frac{\lg 8}{\lg 30}$
Теперь преобразуем числитель и знаменатель дроби, чтобы выразить их через $a$ и $b$.

1. Преобразуем числитель $\lg 8$:
Представим 8 как степень 2: $8 = 2^3$.
По свойству логарифма степени ($\log_c x^p = p \log_c x$):
$\lg 8 = \lg(2^3) = 3 \lg 2$
У нас нет значения для $\lg 2$, но мы можем выразить его через $a = \lg 5$. Используем основное свойство логарифма $\log_{10} 10 = 1$ и свойство логарифма произведения $\log_c(xy) = \log_c x + \log_c y$:
$1 = \lg 10 = \lg(2 \times 5) = \lg 2 + \lg 5$
Подставим $a = \lg 5$:
$1 = \lg 2 + a$
Отсюда выразим $\lg 2$:
$\lg 2 = 1 - a$
Теперь подставим это выражение в формулу для числителя:
$\lg 8 = 3 \lg 2 = 3(1 - a)$

2. Преобразуем знаменатель $\lg 30$:
Представим 30 в виде произведения: $30 = 3 \times 10$.
По свойству логарифма произведения:
$\lg 30 = \lg(3 \times 10) = \lg 3 + \lg 10$
Мы знаем, что $b = \lg 3$ и $\lg 10 = 1$. Подставим эти значения:
$\lg 30 = b + 1$

3. Соберем итоговое выражение:
Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь:
$\log_{30} 8 = \frac{\lg 8}{\lg 30} = \frac{3(1 - a)}{b + 1}$
Ответ: $\frac{3(1 - a)}{1 + b}$

809. Выразить $\log_{300} 120$ через $a$ и $b$, если $a = \log_2 3$, $b = \log_3 5$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_x y = \frac{\log_k y}{\log_k x}$. Поскольку данные нам величины $a = \log_2 3$ и $b = \log_3 5$ имеют основания 2 и 3, удобно привести все логарифмы к одному общему основанию, например, к основанию 2.

Применим формулу перехода к основанию 2 для искомого выражения:

$\log_{300} 120 = \frac{\log_2 120}{\log_2 300}$

Далее, разложим числа 120 и 300 на простые множители, чтобы применить свойства логарифма суммы и степени:

$120 = 12 \cdot 10 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$

$300 = 3 \cdot 100 = 3 \cdot 10^2 = 3 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$

Теперь выразим логарифмы в числителе и знаменателе через логарифмы простых чисел:

$\log_2 120 = \log_2 (2^3 \cdot 3 \cdot 5) = \log_2(2^3) + \log_2 3 + \log_2 5 = 3\log_2 2 + \log_2 3 + \log_2 5 = 3 + \log_2 3 + \log_2 5$

$\log_2 300 = \log_2 (2^2 \cdot 3 \cdot 5^2) = \log_2(2^2) + \log_2 3 + \log_2(5^2) = 2\log_2 2 + \log_2 3 + 2\log_2 5 = 2 + \log_2 3 + 2\log_2 5$

По условию задачи мы знаем, что $a = \log_2 3$. Нам осталось выразить $\log_2 5$ через $a$ и $b$. Мы знаем, что $b = \log_3 5$. Применим к этому выражению формулу перехода к основанию 2:

$b = \log_3 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 3}$

Подставим в это равенство $a = \log_2 3$:

$b = \frac{\log_2 5}{a}$

Отсюда находим выражение для $\log_2 5$:

$\log_2 5 = a \cdot b = ab$

Теперь у нас есть все необходимые компоненты. Подставим выражения для $\log_2 3$ и $\log_2 5$ в формулы для числителя и знаменателя:

Числитель: $3 + \log_2 3 + \log_2 5 = 3 + a + ab$

Знаменатель: $2 + \log_2 3 + 2\log_2 5 = 2 + a + 2(ab) = 2 + a + 2ab$

Таким образом, искомое выражение равно:

$\log_{300} 120 = \frac{3 + a + ab}{2 + a + 2ab}$

Ответ: $\frac{a + ab + 3}{a + 2ab + 2}$

810. Выразить $\log_{350} 140$ через $m$ и $n$, если $m = \log_5 2$, $n = \log_7 5$.

Для решения этой задачи необходимо выразить логарифм $ \log_{350} 140 $ через переменные $ m $ и $ n $. Для этого мы воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $.

Нам даны: $ m = \log_5 2 $ и $ n = \log_7 5 $.
В качестве удобного общего основания для логарифмов выберем 5, так как одна из переменных ($ m $) уже приведена к этому основанию.

Сначала разложим на простые множители числа в основании и под знаком логарифма:
$ 140 = 14 \times 10 = (2 \times 7) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 5 \times 7 $
$ 350 = 35 \times 10 = (5 \times 7) \times (2 \times 5) = 2 \times 5^2 \times 7 $

Теперь применим формулу перехода к основанию 5:
$ \log_{350} 140 = \frac{\log_5 140}{\log_5 350} $

Используя свойства логарифмов (логарифм произведения и логарифм степени), распишем числитель и знаменатель:
$ \log_5 140 = \log_5 (2^2 \times 5 \times 7) = \log_5(2^2) + \log_5 5 + \log_5 7 = 2\log_5 2 + 1 + \log_5 7 $
$ \log_5 350 = \log_5 (2 \times 5^2 \times 7) = \log_5 2 + \log_5(5^2) + \log_5 7 = \log_5 2 + 2\log_5 5 + \log_5 7 = \log_5 2 + 2 + \log_5 7 $

Нам известно, что $ \log_5 2 = m $. Необходимо выразить $ \log_5 7 $ через $ n $.
Мы знаем, что $ n = \log_7 5 $. По свойству $ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} $, получаем:
$ \log_5 7 = \frac{1}{\log_7 5} = \frac{1}{n} $

Теперь подставим выражения для $ \log_5 2 $ и $ \log_5 7 $ в числитель и знаменатель:
Числитель: $ 2\log_5 2 + 1 + \log_5 7 = 2m + 1 + \frac{1}{n} $
Знаменатель: $ \log_5 2 + 2 + \log_5 7 = m + 2 + \frac{1}{n} $

Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$ \log_{350} 140 = \frac{2m + 1 + \frac{1}{n}}{m + 2 + \frac{1}{n}} $

Для упрощения этого выражения умножим числитель и знаменатель на $ n $:
$ \frac{(2m + 1 + \frac{1}{n}) \cdot n}{(m + 2 + \frac{1}{n}) \cdot n} = \frac{2mn + n + 1}{mn + 2n + 1} $

Ответ: $ \frac{2mn + n + 1}{mn + 2n + 1} $

811. Вычислить:

1) $\frac{\log_3 216}{\log_8 3} - \frac{\log_3 24}{\log_{72} 3};$

2) $\frac{\log_2 192}{\log_{12} 2} - \frac{\log_2 24}{\log_{96} 2}.$

1) $\frac{\log_3 216}{\log_8 3} - \frac{\log_3 24}{\log_{72} 3}$

Для упрощения выражения воспользуемся формулой замены основания логарифма $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$. Применим ее к знаменателям дробей:

$\log_8 3 = \frac{1}{\log_3 8}$

$\log_{72} 3 = \frac{1}{\log_3 72}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение. Деление на дробь равносильно умножению на перевернутую дробь:

$\frac{\log_3 216}{1/\log_3 8} - \frac{\log_3 24}{1/\log_3 72} = \log_3 216 \cdot \log_3 8 - \log_3 24 \cdot \log_3 72$

Теперь разложим числа под логарифмами на простые множители, чтобы выделить общие части:

$216 = 6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$

$8 = 2^3$

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$

Подставим разложения в выражение и используем свойства логарифмов $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$ и $\log_a (b^k) = k \log_a b$. Учтем, что $\log_3 3 = 1$:

$\log_3 (2^3 \cdot 3^3) \cdot \log_3 (2^3) - \log_3 (2^3 \cdot 3) \cdot \log_3 (2^3 \cdot 3^2) =$

$= (\log_3 2^3 + \log_3 3^3) \cdot (\log_3 2^3) - (\log_3 2^3 + \log_3 3) \cdot (\log_3 2^3 + \log_3 3^2)$

$= (3\log_3 2 + 3) \cdot (3\log_3 2) - (3\log_3 2 + 1) \cdot (3\log_3 2 + 2)$

Для удобства вычислений сделаем замену. Пусть $x = 3\log_3 2$. Тогда выражение примет вид:

$(x + 3) \cdot x - (x + 1) \cdot (x + 2)$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + 3x - (x^2 + 2x + x + 2) = x^2 + 3x - (x^2 + 3x + 2) = x^2 + 3x - x^2 - 3x - 2 = -2$

Ответ: -2

2) $\frac{\log_2 192}{\log_{12} 2} - \frac{\log_2 24}{\log_{96} 2}$

Используем свойство логарифма $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, чтобы привести все логарифмы к основанию 2:

$\log_{12} 2 = \frac{1}{\log_2 12}$

$\log_{96} 2 = \frac{1}{\log_2 96}$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{\log_2 192}{1/\log_2 12} - \frac{\log_2 24}{1/\log_2 96} = \log_2 192 \cdot \log_2 12 - \log_2 24 \cdot \log_2 96$

Разложим числа под знаками логарифмов на множители:

$192 = 64 \cdot 3 = 2^6 \cdot 3$

$12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$

Подставим эти значения и применим свойства логарифмов $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$ и $\log_a (b^k) = k \log_a b$. Учтем, что $\log_2 2^k = k$:

$\log_2 (2^6 \cdot 3) \cdot \log_2 (2^2 \cdot 3) - \log_2 (2^3 \cdot 3) \cdot \log_2 (2^5 \cdot 3) =$

$= (\log_2 2^6 + \log_2 3) \cdot (\log_2 2^2 + \log_2 3) - (\log_2 2^3 + \log_2 3) \cdot (\log_2 2^5 + \log_2 3)$

$= (6 + \log_2 3) \cdot (2 + \log_2 3) - (3 + \log_2 3) \cdot (5 + \log_2 3)$

Сделаем замену $x = \log_2 3$ для упрощения выражения:

$(6 + x)(2 + x) - (3 + x)(5 + x)$

Раскроем скобки:

$(12 + 6x + 2x + x^2) - (15 + 3x + 5x + x^2) = (x^2 + 8x + 12) - (x^2 + 8x + 15)$

Упростим выражение:

$x^2 + 8x + 12 - x^2 - 8x - 15 = 12 - 15 = -3$

Ответ: -3