Номер 811, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

811. Вычислить:

1) $\frac{\log_3 216}{\log_8 3} - \frac{\log_3 24}{\log_{72} 3};$

2) $\frac{\log_2 192}{\log_{12} 2} - \frac{\log_2 24}{\log_{96} 2}.$

1) $\frac{\log_3 216}{\log_8 3} - \frac{\log_3 24}{\log_{72} 3}$

Для упрощения выражения воспользуемся формулой замены основания логарифма $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$. Применим ее к знаменателям дробей:

$\log_8 3 = \frac{1}{\log_3 8}$

$\log_{72} 3 = \frac{1}{\log_3 72}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение. Деление на дробь равносильно умножению на перевернутую дробь:

$\frac{\log_3 216}{1/\log_3 8} - \frac{\log_3 24}{1/\log_3 72} = \log_3 216 \cdot \log_3 8 - \log_3 24 \cdot \log_3 72$

Теперь разложим числа под логарифмами на простые множители, чтобы выделить общие части:

$216 = 6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$

$8 = 2^3$

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$

Подставим разложения в выражение и используем свойства логарифмов $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$ и $\log_a (b^k) = k \log_a b$. Учтем, что $\log_3 3 = 1$:

$\log_3 (2^3 \cdot 3^3) \cdot \log_3 (2^3) - \log_3 (2^3 \cdot 3) \cdot \log_3 (2^3 \cdot 3^2) =$

$= (\log_3 2^3 + \log_3 3^3) \cdot (\log_3 2^3) - (\log_3 2^3 + \log_3 3) \cdot (\log_3 2^3 + \log_3 3^2)$

$= (3\log_3 2 + 3) \cdot (3\log_3 2) - (3\log_3 2 + 1) \cdot (3\log_3 2 + 2)$

Для удобства вычислений сделаем замену. Пусть $x = 3\log_3 2$. Тогда выражение примет вид:

$(x + 3) \cdot x - (x + 1) \cdot (x + 2)$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + 3x - (x^2 + 2x + x + 2) = x^2 + 3x - (x^2 + 3x + 2) = x^2 + 3x - x^2 - 3x - 2 = -2$

Ответ: -2

2) $\frac{\log_2 192}{\log_{12} 2} - \frac{\log_2 24}{\log_{96} 2}$

Используем свойство логарифма $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, чтобы привести все логарифмы к основанию 2:

$\log_{12} 2 = \frac{1}{\log_2 12}$

$\log_{96} 2 = \frac{1}{\log_2 96}$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{\log_2 192}{1/\log_2 12} - \frac{\log_2 24}{1/\log_2 96} = \log_2 192 \cdot \log_2 12 - \log_2 24 \cdot \log_2 96$

Разложим числа под знаками логарифмов на множители:

$192 = 64 \cdot 3 = 2^6 \cdot 3$

$12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$

Подставим эти значения и применим свойства логарифмов $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$ и $\log_a (b^k) = k \log_a b$. Учтем, что $\log_2 2^k = k$:

$\log_2 (2^6 \cdot 3) \cdot \log_2 (2^2 \cdot 3) - \log_2 (2^3 \cdot 3) \cdot \log_2 (2^5 \cdot 3) =$

$= (\log_2 2^6 + \log_2 3) \cdot (\log_2 2^2 + \log_2 3) - (\log_2 2^3 + \log_2 3) \cdot (\log_2 2^5 + \log_2 3)$

$= (6 + \log_2 3) \cdot (2 + \log_2 3) - (3 + \log_2 3) \cdot (5 + \log_2 3)$

Сделаем замену $x = \log_2 3$ для упрощения выражения:

$(6 + x)(2 + x) - (3 + x)(5 + x)$

Раскроем скобки:

$(12 + 6x + 2x + x^2) - (15 + 3x + 5x + x^2) = (x^2 + 8x + 12) - (x^2 + 8x + 15)$

Упростим выражение:

$x^2 + 8x + 12 - x^2 - 8x - 15 = 12 - 15 = -3$

Ответ: -3