Номер 817, страница 251 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

817. К 2000 г. известные запасы угля в мире составляли $5 \cdot 10^{12}$ т. Мера потребления угля в мире равна $2,2 \cdot 10^9$ т в год.

1) На сколько лет хватит имеющихся запасов угля при данном его потреблении?

2) На сколько лет хватит запасов, если его потребление будет ежегодно увеличиваться на $5\%$? на $4\%$?

Обозначим известные запасы угля в мире как $S_{общ}$, а годовое потребление угля как $C_{год}$.
Дано:
Общие запасы: $S_{общ} = 5 \cdot 10^{12}$ т
Годовое потребление: $C_{год} = 2,2 \cdot 10^9$ т/год

1) На сколько лет хватит имеющихся запасов угля при данном его потреблении?
Чтобы найти, на сколько лет ($T$) хватит запасов при постоянном потреблении, необходимо разделить общий объем запасов на годовое потребление:
$T = \frac{S_{общ}}{C_{год}} = \frac{5 \cdot 10^{12} \text{ т}}{2,2 \cdot 10^9 \text{ т/год}}$
$T = \frac{5}{2,2} \cdot \frac{10^{12}}{10^9} = \frac{5}{2,2} \cdot 10^{3} \approx 2,2727 \cdot 1000 \approx 2272,7$ лет.
Это означает, что запасов хватит на 2272 полных года, и они иссякнут в течение 2273-го года.
Ответ: запасов угля хватит примерно на 2273 года.

2) На сколько лет хватит запасов, если его потребление будет ежегодно увеличиваться на 5%? на 4%?
Если потребление ежегодно увеличивается на определенный процент, то объемы потребления по годам образуют геометрическую прогрессию.
Первый член прогрессии (потребление в первый год) $b_1 = 2,2 \cdot 10^9$ т.
Сумма потребленного угля за $n$ лет ($S_n$) определяется по формуле суммы $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$, где $q$ - знаменатель прогрессии.
Нам нужно найти максимальное целое число лет $n$, для которого суммарное потребление не превысит общих запасов: $S_n \le S_{общ}$.

При ежегодном увеличении на 5%:
Знаменатель прогрессии $q = 1 + 0,05 = 1,05$.
Решаем неравенство: $2,2 \cdot 10^9 \cdot \frac{1,05^n - 1}{1,05 - 1} \le 5 \cdot 10^{12}$
$1,05^n - 1 \le \frac{5 \cdot 10^{12} \cdot 0,05}{2,2 \cdot 10^9} = \frac{2,5 \cdot 10^{11}}{2,2 \cdot 10^9} = \frac{250}{2,2} \approx 113,64$
$1,05^n \le 114,64$
Для нахождения $n$ используем логарифмы: $n \le \log_{1,05}(114,64) = \frac{\ln(114,64)}{\ln(1,05)} \approx \frac{4,7418}{0,0488} \approx 97,17$.
Следовательно, запасов хватит на 97 полных лет.

При ежегодном увеличении на 4%:
Знаменатель прогрессии $q = 1 + 0,04 = 1,04$.
Решаем неравенство: $2,2 \cdot 10^9 \cdot \frac{1,04^n - 1}{1,04 - 1} \le 5 \cdot 10^{12}$
$1,04^n - 1 \le \frac{5 \cdot 10^{12} \cdot 0,04}{2,2 \cdot 10^9} = \frac{2 \cdot 10^{11}}{2,2 \cdot 10^9} = \frac{200}{2,2} \approx 90,91$
$1,04^n \le 91,91$
Используем логарифмы: $n \le \log_{1,04}(91,91) = \frac{\ln(91,91)}{\ln(1,04)} \approx \frac{4,5208}{0,0392} \approx 115,33$.
Следовательно, запасов хватит на 115 полных лет.
Ответ: при увеличении потребления на 5% запасов хватит на 97 лет, а при увеличении на 4% — на 115 лет.