Номер 810, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

810. Выразить $\log_{350} 140$ через $m$ и $n$, если $m = \log_5 2$, $n = \log_7 5$.

Для решения этой задачи необходимо выразить логарифм $ \log_{350} 140 $ через переменные $ m $ и $ n $. Для этого мы воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $.

Нам даны: $ m = \log_5 2 $ и $ n = \log_7 5 $.
В качестве удобного общего основания для логарифмов выберем 5, так как одна из переменных ($ m $) уже приведена к этому основанию.

Сначала разложим на простые множители числа в основании и под знаком логарифма:
$ 140 = 14 \times 10 = (2 \times 7) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 5 \times 7 $
$ 350 = 35 \times 10 = (5 \times 7) \times (2 \times 5) = 2 \times 5^2 \times 7 $

Теперь применим формулу перехода к основанию 5:
$ \log_{350} 140 = \frac{\log_5 140}{\log_5 350} $

Используя свойства логарифмов (логарифм произведения и логарифм степени), распишем числитель и знаменатель:
$ \log_5 140 = \log_5 (2^2 \times 5 \times 7) = \log_5(2^2) + \log_5 5 + \log_5 7 = 2\log_5 2 + 1 + \log_5 7 $
$ \log_5 350 = \log_5 (2 \times 5^2 \times 7) = \log_5 2 + \log_5(5^2) + \log_5 7 = \log_5 2 + 2\log_5 5 + \log_5 7 = \log_5 2 + 2 + \log_5 7 $

Нам известно, что $ \log_5 2 = m $. Необходимо выразить $ \log_5 7 $ через $ n $.
Мы знаем, что $ n = \log_7 5 $. По свойству $ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} $, получаем:
$ \log_5 7 = \frac{1}{\log_7 5} = \frac{1}{n} $

Теперь подставим выражения для $ \log_5 2 $ и $ \log_5 7 $ в числитель и знаменатель:
Числитель: $ 2\log_5 2 + 1 + \log_5 7 = 2m + 1 + \frac{1}{n} $
Знаменатель: $ \log_5 2 + 2 + \log_5 7 = m + 2 + \frac{1}{n} $

Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$ \log_{350} 140 = \frac{2m + 1 + \frac{1}{n}}{m + 2 + \frac{1}{n}} $

Для упрощения этого выражения умножим числитель и знаменатель на $ n $:
$ \frac{(2m + 1 + \frac{1}{n}) \cdot n}{(m + 2 + \frac{1}{n}) \cdot n} = \frac{2mn + n + 1}{mn + 2n + 1} $

Ответ: $ \frac{2mn + n + 1}{mn + 2n + 1} $