Номер 806, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

806. Найти $log_{24} 72$, если $log_6 2 = m$.

Для решения этой задачи необходимо выразить $ \log_{24} 72 $ через $ m = \log_6 2 $. Мы будем использовать формулу перехода к новому основанию логарифма: $ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $. В качестве нового основания $c$ удобно выбрать число, являющееся простым множителем для чисел, входящих в задачу (6, 2, 24, 72). Такими множителями являются 2 и 3. Выберем в качестве нового основания число 2.

1. Выразим $ \log_2 3 $ через $m$.
По условию $ \log_6 2 = m $.
Применим формулу перехода к основанию 2: $$ \log_6 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 6} $$ Мы знаем, что $ \log_2 2 = 1 $ и $ \log_2 6 = \log_2 (2 \cdot 3) = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + \log_2 3 $.
Подставляем эти значения в формулу: $$ m = \frac{1}{1 + \log_2 3} $$ Теперь из этого уравнения выразим $ \log_2 3 $: $$ m(1 + \log_2 3) = 1 $$ $$ 1 + \log_2 3 = \frac{1}{m} $$ $$ \log_2 3 = \frac{1}{m} - 1 = \frac{1 - m}{m} $$

2. Преобразуем искомое выражение $ \log_{24} 72 $.
Снова используем формулу перехода к основанию 2: $$ \log_{24} 72 = \frac{\log_2 72}{\log_2 24} $$ Разложим числа 72 и 24 на простые множители, чтобы упростить логарифмы:

• $ 72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2 $
• $ 24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 $

Теперь преобразуем числитель и знаменатель дроби, используя свойства логарифмов ($ \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y $ и $ \log_a(x^k) = k\log_a x $):
Числитель: $$ \log_2 72 = \log_2 (2^3 \cdot 3^2) = \log_2(2^3) + \log_2(3^2) = 3\log_2 2 + 2\log_2 3 = 3 \cdot 1 + 2\log_2 3 = 3 + 2\log_2 3 $$ Знаменатель: $$ \log_2 24 = \log_2 (2^3 \cdot 3) = \log_2(2^3) + \log_2 3 = 3\log_2 2 + \log_2 3 = 3 \cdot 1 + \log_2 3 = 3 + \log_2 3 $$

3. Подставим выражение для $ \log_2 3 $ и найдем ответ.
Теперь в полученные выражения для числителя и знаменателя подставим $ \log_2 3 = \frac{1 - m}{m} $:
Числитель: $$ 3 + 2\log_2 3 = 3 + 2\left(\frac{1 - m}{m}\right) = \frac{3m}{m} + \frac{2(1-m)}{m} = \frac{3m + 2 - 2m}{m} = \frac{m + 2}{m} $$ Знаменатель: $$ 3 + \log_2 3 = 3 + \frac{1 - m}{m} = \frac{3m}{m} + \frac{1 - m}{m} = \frac{3m + 1 - m}{m} = \frac{2m + 1}{m} $$ Наконец, найдем значение исходного выражения: $$ \log_{24} 72 = \frac{\log_2 72}{\log_2 24} = \frac{\frac{m + 2}{m}}{\frac{2m + 1}{m}} $$ Сократив $m$ в числителе и знаменателе, получим: $$ \log_{24} 72 = \frac{m + 2}{2m + 1} $$

Ответ: $ \frac{m+2}{2m+1} $