Номер 799, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

799. Выразить данный логарифм через логарифм с основанием 7:

1) $\log_5 3$;

2) $\lg 6$;

3) $\log_2 7$;

4) $\log_5 \frac{1}{3}$;

5) $\lg 7$;

6) $\log_3 7$.

Для решения всех пунктов задачи используется формула перехода к новому основанию логарифма: $$ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $$В данном случае, нам нужно выразить логарифмы через логарифм с основанием $c = 7$.

1) Для выражения $\log_5 3$ через логарифм с основанием 7, воспользуемся формулой перехода к новому основанию. В нашем случае $a = 3$, $b = 5$, а новое основание $c = 7$. Подставляем эти значения в формулу:

$\log_5 3 = \frac{\log_7 3}{\log_7 5}$

Ответ: $\frac{\log_7 3}{\log_7 5}$.

2) Выражение $\lg 6$ представляет собой десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg 6 = \log_{10} 6$. Применяем формулу перехода к основанию 7, где $a = 6$, $b = 10$, $c = 7$:

$\log_{10} 6 = \frac{\log_7 6}{\log_7 10}$

Ответ: $\frac{\log_7 6}{\log_7 10}$.

3) Для выражения $\log_2 7$ через логарифм с основанием 7, используем ту же формулу. Здесь $a = 7$, $b = 2$, $c = 7$.

$\log_2 7 = \frac{\log_7 7}{\log_7 2}$

Так как логарифм, у которого основание и аргумент совпадают, равен единице ($\log_c c = 1$), то $\log_7 7 = 1$. Следовательно:

$\log_2 7 = \frac{1}{\log_7 2}$

Это также следует из свойства $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.

Ответ: $\frac{1}{\log_7 2}$.

4) Для выражения $\log_5 \frac{1}{3}$ используем формулу перехода к основанию 7. Здесь $a = \frac{1}{3}$, $b = 5$, $c = 7$.

$\log_5 \frac{1}{3} = \frac{\log_7 \frac{1}{3}}{\log_7 5}$

Используя свойство логарифма степени $\log_c (x^k) = k \log_c x$, мы можем упростить числитель. Так как $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, то:

$\log_7 \frac{1}{3} = \log_7 (3^{-1}) = -1 \cdot \log_7 3 = -\log_7 3$

Подставляем это в наше выражение:

$\log_5 \frac{1}{3} = \frac{-\log_7 3}{\log_7 5} = -\frac{\log_7 3}{\log_7 5}$

Ответ: $-\frac{\log_7 3}{\log_7 5}$.

5) Выражение $\lg 7$ — это десятичный логарифм $\log_{10} 7$. Применяем формулу перехода к основанию 7. Здесь $a = 7$, $b = 10$, $c = 7$.

$\log_{10} 7 = \frac{\log_7 7}{\log_7 10}$

Поскольку $\log_7 7 = 1$, получаем:

$\log_{10} 7 = \frac{1}{\log_7 10}$

Ответ: $\frac{1}{\log_7 10}$.

6) Для выражения $\log_3 7$ применяем формулу перехода к основанию 7. Здесь $a = 7$, $b = 3$, $c = 7$.

$\