Номер 799, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

799. Выразить данный логарифм через логарифм с основанием 7:

1) $\log_5 3$;

2) $\lg 6$;

3) $\log_2 7$;

4) $\log_5 \frac{1}{3}$;

5) $\lg 7$;

6) $\log_3 7$.

Для решения этих задач используется формула перехода к новому основанию логарифма:

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

В нашем случае новым основанием будет $c = 7$.

1) $\log_5 3$

Применяем формулу перехода:

$$\log_5 3 = \frac{\log_7 3}{\log_7 5}$$

2) $\lg 6$

Напомню, что $\lg$ — это десятичный логарифм ($\log_{10}$):

$$\lg 6 = \frac{\log_7 6}{\log_7 10}$$

3) $\log_2 7$

Применяем формулу:

$$\log_2 7 = \frac{\log_7 7}{\log_7 2}$$

Так как $\log_7 7 = 1$, выражение упрощается:

$$\log_2 7 = \frac{1}{\log_7 2}$$

4) $\log_5 \frac{1}{3}$

Сначала можно вынести степень $-1$ ($\frac{1}{3} = 3^{-1}$), либо сразу применить формулу:

$$\log_5 \frac{1}{3} = \frac{\log_7 \frac{1}{3}}{\log_7 5} = \frac{\log_7 3^{-1}}{\log_7 5} = -\frac{\log_7 3}{\log_7 5}$$

5) $\lg 7$

Аналогично пункту 3, используем десятичное основание 10:

$$\lg 7 = \frac{\log_7 7}{\log_7 10} = \frac{1}{\log_7 10}$$

6) $\log_3 7$

$$\log_3 7 = \frac{\log_7 7}{\log_7 3} = \frac{1}{\log_7 3}$$