Номер 793, страница 247 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

793. Доказать, что при $a > 0$, $a \ne 1$ и любых $x_1 \ne 0$ и $x_2 \ne 0$ справедливы формулы:

1) $\log_a |x_1 \cdot x_2| = \log_a |x_1| + \log_a |x_2|$;

2) $\log_a |\frac{x_1}{x_2}| = \log_a |x_1| - \log_a |x_2|$.

1) Докажем справедливость формулы $\log_a |x_1 \cdot x_2| = \log_a |x_1| + \log_a |x_2|$.

Согласно условиям задачи, основание логарифма $a > 0$ и $a \neq 1$. Аргументы $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$. Это гарантирует, что выражения под знаком логарифма $|x_1|$, $|x_2|$ и $|x_1 \cdot x_2|$ являются строго положительными числами, а значит, все логарифмы в формуле определены.

Рассмотрим левую часть равенства: $\log_a |x_1 \cdot x_2|$.

Воспользуемся свойством модуля произведения: для любых чисел $x_1$ и $x_2$ справедливо равенство $|x_1 \cdot x_2| = |x_1| \cdot |x_2|$.

Применив это свойство, получим: $\log_a |x_1 \cdot x_2| = \log_a (|x_1| \cdot |x_2|)$.

Обозначим $y_1 = |x_1|$ и $y_2 = |x_2|$. Так как $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$, то $y_1 > 0$ и $y_2 > 0$.

Теперь выражение принимает вид $\log_a(y_1 \cdot y_2)$. Для положительных чисел $y_1$ и $y_2$ справедлива формула логарифма произведения: $\log_a(y_1 \cdot y_2) = \log_a y_1 + \log_a y_2$.

Выполнив обратную замену $y_1$ на $|x_1|$ и $y_2$ на $|x_2|$, получаем правую часть исходной формулы:

$\log_a |x_1| + \log_a |x_2|$.

Таким образом, мы доказали, что $\log_a |x_1 \cdot x_2| = \log_a |x_1| + \log_a |x_2|$.

Ответ: Формула доказана.

2) Докажем справедливость формулы $\log_a \left|\frac{x_1}{x_2}\right| = \log_a |x_1| - \log_a |x_2|$.

Как и в предыдущем пункте, все логарифмы в выражении определены, так как $a > 0$, $a \neq 1$, $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$. Следовательно, аргументы логарифмов $\left|\frac{x_1}{x_2}\right|$, $|x_1|$ и $|x_2|$ строго положительны.

Рассмотрим левую часть равенства: $\log_a \left|\frac{x_1}{x_2}\right|$.

Используем свойство модуля частного: для любых чисел $x_1$ и $x_2$ (где $x_2 \neq 0$) справедливо равенство $\left|\frac{x_1}{x_2}\right| = \frac{|x_1|}{|x_2|}$.

Применяя это свойство, получаем: $\log_a \left|\frac{x_1}{x_2}\right| = \log_a \left(\frac{|x_1|}{|x_2|}\right)$.

Обозначим $y_1 = |x_1|$ и $y_2 = |x_2|$. Поскольку $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$, то $y_1 > 0$ и $y_2 > 0$.

Выражение принимает вид $\log_a\left(\frac{y_1}{y_2}\right)$. Для положительных чисел $y_1$ и $y_2$ справедлива формула логарифма частного: $\log_a\left(\frac{y_1}{y_2}\right) = \log_a y_1 - \log_a y_2$.

Выполнив обратную замену, получаем правую часть исходной формулы:

$\log_a |x_1| - \log_a |x_2|$.

Таким образом, мы доказали, что $\log_a \left|\frac{x_1}{x_2}\right| = \log_a |x_1| - \log_a |x_2|$.

Ответ: Формула доказана.