Номер 786, страница 247 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

786. Вычислить:

1) $36^{\log_6 5} + 10^{1 - \log_{10} 2} - 8^{\log_2 3};$

2) $\left(81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4} + 25^{\log_{125} 8}\right) \cdot 49^{\log_7 2};$

3) $16^{1 + \log_4 5} + 4^{\frac{1}{2}\log_2 3 + 3\log_8 5};$

4) $72 \cdot \left(49^{\frac{1}{2}\log_7 9 - \log_7 6} + 5^{-\log_{\sqrt{5}} 4}\right).$

1) $36^{\log_6 5} + 10^{1-\log_{10} 2} - 8^{\log_2 3}$

Для решения этого выражения, вычислим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства логарифмов и степеней.

Первое слагаемое: $36^{\log_6 5}$.
Представим основание 36 как $6^2$.
$36^{\log_6 5} = (6^2)^{\log_6 5} = 6^{2\log_6 5}$.
Используя свойство $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$, получим: $6^{\log_6 5^2} = 6^{\log_6 25}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем: $6^{\log_6 25} = 25$.

Второе слагаемое: $10^{1-\log_{10} 2}$.
Используя свойство $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, получим: $\frac{10^1}{10^{\log_{10} 2}}$.
В знаменателе используем основное логарифмическое тождество (десятичный логарифм имеет основание 10): $10^{\log_{10} 2} = 2$.
Таким образом, второе слагаемое равно: $\frac{10}{2} = 5$.

Третье слагаемое: $8^{\log_2 3}$.
Представим основание 8 как $2^3$.
$8^{\log_2 3} = (2^3)^{\log_2 3} = 2^{3\log_2 3} = 2^{\log_2 3^3} = 2^{\log_2 27}$.
По основному логарифмическому тождеству: $2^{\log_2 27} = 27$.

Теперь сложим и вычтем полученные значения: $25 + 5 - 27 = 30 - 27 = 3$.

Ответ: 3.

2) $\left(81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4} + 25^{\log_{125} 8}\right) \cdot 49^{\log_7 2}$

Сначала вычислим выражение в скобках.

Первое слагаемое в скобках: $81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4}$.
$81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4} = \frac{81^{\frac{1}{4}}}{81^{\frac{1}{2}\log_9 4}} = \frac{(3^4)^{\frac{1}{4}}}{(9^2)^{\frac{1}{2}\log_9 4}} = \frac{3}{9^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_9 4}} = \frac{3}{9^{\log_9 4}}$.
По основному логарифмическому тождеству: $\frac{3}{4}$.

Второе слагаемое в скобках: $25^{\log_{125} 8}$.
Преобразуем основания степени и логарифма к одному числу (5): $25=5^2$, $125=5^3$.
Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: $\log_{125} 8 = \log_{5^3} 8 = \frac{1}{3}\log_5 8$.
Тогда выражение примет вид: $(5^2)^{\frac{1}{3}\log_5 8} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}\log_5 8} = 5^{\frac{2}{3}\log_5 8} = 5^{\log_5 8^{\frac{2}{3}}}$.
Так как $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$, то $5^{\log_5 4} = 4$.

Сумма в скобках: $\frac{3}{4} + 4 = \frac{3}{4} + \frac{16}{4} = \frac{19}{4}$.

Теперь вычислим второй множитель: $49^{\log_7 2}$.
$49^{\log_7 2} = (7^2)^{\log_7 2} = 7^{2\log_7 2} = 7^{\log_7 2^2} = 7^{\log_7 4} = 4$.

Перемножим полученные результаты: $\frac{19}{4} \cdot 4 = 19$.

Ответ: 19.

3) $16^{1+\log_4 5} + 4^{\frac{1}{2}\log_2 3 + 3\log_8 5}$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $16^{1+\log_4 5}$.
$16^{1+\log_4 5} = 16^1 \cdot 16^{\log_4 5} = 16 \cdot (4^2)^{\log_4 5} = 16 \cdot 4^{2\log_4 5} = 16 \cdot 4^{\log_4 5^2} = 16 \cdot 4^{\log_4 25}$.
По основному логарифмическому тождеству: $16 \cdot 25 = 400$.

Второе слагаемое: $4^{\frac{1}{2}\log_2 3 + 3\log_8 5}$.
Упростим показатель степени, приведя логарифмы к основанию 2: $3\log_8 5 = 3\log_{2^3} 5 = 3 \cdot \frac{1}{3}\log_2 5 = \log_2 5$.
Показатель степени: $\frac{1}{2}\log_2 3 + \log_2 5 = \log_2 3^{\frac{1}{2}} + \log_2 5 = \log_2 \sqrt{3} + \log_2 5 = \log_2(5\sqrt{3})$.
Теперь вычислим значение второго слагаемого: $4^{\log_2(5\sqrt{3})} = (2^2)^{\log_2(5\sqrt{3})} = 2^{2\log_2(5\sqrt{3})} = 2^{\log_2((5\sqrt{3})^2)} = 2^{\log_2(25 \cdot 3)} = 2^{\log_2 75}$.
По основному логарифмическому тождеству: $75$.

Сложим полученные значения: $400 + 75 = 475$.

Ответ: 475.

4) $72 \cdot \left(49^{\frac{1}{2}\log_7 9 - \log_7 6} + 5^{-\log_{\sqrt{5}} 4}\right)$

Сначала вычислим выражение в скобках.

Первый член в скобках: $49^{\frac{1}{2}\log_7 9 - \log_7 6}$.
Упростим показатель степени: $\frac{1}{2}\log_7 9 - \log_7 6 = \log_7 9^{\frac{1}{2}} - \log_7 6 = \log_7 3 - \log_7 6 = \log_7\left(\frac{3}{6}\right) = \log_7\left(\frac{1}{2}\right)$.
Тогда выражение: $49^{\log_7(\frac{1}{2})} = (7^2)^{\log_7(\frac{1}{2})} = 7^{2\log_7(\frac{1}{2})} = 7^{\log_7((\frac{1}{2})^2)} = 7^{\log_7(\frac{1}{4})} = \frac{1}{4}$.

Второй член в скобках: $5^{-\log_{\sqrt{5}} 4}$.
Упростим логарифм в показателе: $\log_{\sqrt{5}} 4 = \log_{5^{1/2}} 4 = \frac{1}{1/2}\log_5 4 = 2\log_5 4$.
Тогда выражение: $5^{-2\log_5 4} = 5^{\log_5 4^{-2}} = 5^{\log_5(\frac{1}{16})} = \frac{1}{16}$.

Сумма в скобках: $\frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16}$.

Теперь умножим результат на 72: $72 \cdot \frac{5}{16} = \frac{72 \cdot 5}{16} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 5}{2 \cdot 8} = \frac{45}{2} = 22.5$.

Ответ: 22.5.