Номер 784, страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

784. 1) $\frac{\log_2 24 - \frac{1}{2}\log_2 72}{\log_3 18 - \frac{1}{3}\log_3 72}$;

2) $\frac{\log_7 14 - \frac{1}{3}\log_7 56}{\log_6 30 - \frac{1}{2}\log_6 150}$;

3) $\frac{\log_2 4 + \log_2 \sqrt{10}}{\log_2 20 + 3 \log_2 2}$;

4) $\frac{3 \log_7 2 - \frac{1}{2}\log_7 64}{4 \log_5 2 + \frac{1}{3}\log_5 27}$.

1)

Для решения воспользуемся свойствами логарифмов: $n \log_a b = \log_a b^n$, $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.

Сначала упростим числитель дроби: $\log_2 24 - \frac{1}{2}\log_2 72$.

Представим числа под логарифмами в виде произведений: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$ и $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$.

$\log_2 24 = \log_2(2^3 \cdot 3) = \log_2 2^3 + \log_2 3 = 3 + \log_2 3$.

$\frac{1}{2}\log_2 72 = \frac{1}{2}\log_2(2^3 \cdot 3^2) = \frac{1}{2}(\log_2 2^3 + \log_2 3^2) = \frac{1}{2}(3 + 2\log_2 3) = \frac{3}{2} + \log_2 3$.

Выражение в числителе равно: $(3 + \log_2 3) - (\frac{3}{2} + \log_2 3) = 3 + \log_2 3 - \frac{3}{2} - \log_2 3 = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.

Теперь упростим знаменатель: $\log_3 18 - \frac{1}{3}\log_3 72$.

Представим числа под логарифмами в виде произведений: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$ и $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$.

$\log_3 18 = \log_3(2 \cdot 3^2) = \log_3 2 + \log_3 3^2 = \log_3 2 + 2$.

$\frac{1}{3}\log_3 72 = \frac{1}{3}\log_3(2^3 \cdot 3^2) = \frac{1}{3}(\log_3 2^3 + \log_3 3^2) = \frac{1}{3}(3\log_3 2 + 2) = \log_3 2 + \frac{2}{3}$.

Выражение в знаменателе равно: $(\log_3 2 + 2) - (\log_3 2 + \frac{2}{3}) = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

Вычисляем значение всей дроби: $\frac{3/2}{4/3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$.

Ответ: $\frac{9}{8}$.

2)

Упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Числитель: $\log_7 14 - \frac{1}{3}\log_7 56$.

Разложим числа на множители: $14 = 2 \cdot 7$ и $56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$.

$\log_7 14 = \log_7(2 \cdot 7) = \log_7 2 + \log_7 7 = \log_7 2 + 1$.

$\frac{1}{3}\log_7 56 = \frac{1}{3}\log_7(2^3 \cdot 7) = \frac{1}{3}(\log_7 2^3 + \log_7 7) = \frac{1}{3}(3\log_7 2 + 1) = \log_7 2 + \frac{1}{3}$.

Тогда числитель равен: $(\log_7 2 + 1) - (\log_7 2 + \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Знаменатель: $\log_6 30 - \frac{1}{2}\log_6 150$.

Разложим числа на множители: $30 = 5 \cdot 6$ и $150 = 25 \cdot 6 = 5^2 \cdot 6$.

$\log_6 30 = \log_6(5 \cdot 6) = \log_6 5 + \log_6 6 = \log_6 5 + 1$.

$\frac{1}{2}\log_6 150 = \frac{1}{2}\log_6(5^2 \cdot 6) = \frac{1}{2}(\log_6 5^2 + \log_6 6) = \frac{1}{2}(2\log_6 5 + 1) = \log_6 5 + \frac{1}{2}$.

Тогда знаменатель равен: $(\log_6 5 + 1) - (\log_6 5 + \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Значение дроби: $\frac{2/3}{1/2} = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

3)

Преобразуем числитель и знаменатель дроби.

Числитель: $\log_2 4 + \log_2 \sqrt{10}$.

$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$.

$\log_2 \sqrt{10} = \log_2 10^{1/2} = \frac{1}{2} \log_2(2 \cdot 5) = \frac{1}{2}(\log_2 2 + \log_2 5) = \frac{1}{2}(1 + \log_2 5) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log_2 5$.

Числитель равен: $2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log_2 5 = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}\log_2 5 = \frac{1}{2}(5 + \log_2 5)$.

Знаменатель: $\log_2 20 + 3\log_2 2$.

$\log_2 20 = \log_2(4 \cdot 5) = \log_2 4 + \log_2 5 = 2 + \log_2 5$.

$3\log_2 2 = 3 \cdot 1 = 3$.

Знаменатель равен: $(2 + \log_2 5) + 3 = 5 + \log_2 5$.

Вычисляем значение всей дроби: $\frac{\frac{1}{2}(5 + \log_2 5)}{5 + \log_2 5}$.

Сокращая общий множитель $(5 + \log_2 5)$, получаем $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4)

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби.

Числитель: $3\log_7 2 - \frac{1}{2}\log_7 64$.

Используем свойство $n \log_a b = \log_a b^n$ и тот факт, что $64 = 2^6$.

$3\log_7 2 - \frac{1}{2}\log_7 64 = \log_7 2^3 - \log_7 64^{1/2} = \log_7 8 - \log_7 \sqrt{64} = \log_7 8 - \log_7 8 = 0$.

Так как числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю, то значение всего выражения равно нулю.

Проверим знаменатель: $4\log_5 2 + \frac{1}{3}\log_5 27 = \log_5 2^4 + \log_5 27^{1/3} = \log_5 16 + \log_5 3 = \log_5 (16 \cdot 3) = \log_5 48 \neq 0$.

Следовательно, значение дроби равно $\frac{0}{\log_5 48} = 0$.

Ответ: $0$.