Номер 780, страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

780. 1) $\log_8 12 - \log_8 15 + \log_8 20;$

2) $\log_9 15 + \log_9 18 - \log_9 10;$

3) $\frac{1}{2} \log_7 36 - \log_7 14 - 3 \log_7 \sqrt[3]{21};$

4) $2 \log_{\frac{1}{3}} 6 - \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 400 + 3 \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{45}.$

1) Для решения используем свойства логарифмов: сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов, а разность логарифмов равна логарифму частного их аргументов. Формулы: $log_a b + log_a c = log_a(b \cdot c)$ и $log_a b - log_a c = log_a(\frac{b}{c})$.
Применим эти свойства к выражению: $log_8 12 - log_8 15 + log_8 20 = log_8(\frac{12}{15}) + log_8 20 = log_8(\frac{12 \cdot 20}{15})$.
Упростим выражение под знаком логарифма: $\frac{12 \cdot 20}{15} = \frac{12 \cdot 4 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{12 \cdot 4}{3} = 4 \cdot 4 = 16$.
Таким образом, мы получили выражение $log_8 16$.
Для вычисления значения $log_8 16$, воспользуемся свойством логарифма $log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} log_a b$. Представим основание 8 и число 16 в виде степеней числа 2: $8 = 2^3$ и $16 = 2^4$. $log_8 16 = log_{2^3} 2^4 = \frac{4}{3} log_2 2 = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

2) Аналогично первому пункту, применяем свойства сложения и вычитания логарифмов с одинаковым основанием: $log_9 15 + log_9 18 - log_9 10 = log_9(15 \cdot 18) - log_9 10 = log_9(\frac{15 \cdot 18}{10})$.
Упростим дробь: $\frac{15 \cdot 18}{10} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 18}{2 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 18}{2} = 3 \cdot 9 = 27$.
Получили выражение $log_9 27$.
Для вычисления представим 9 и 27 как степени числа 3: $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$. $log_9 27 = log_{3^2} 3^3 = \frac{3}{2} log_3 3 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

3) Для решения используем свойство степени логарифма $n \cdot log_a b = log_a(b^n)$, а также представим корень в виде степени: $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$.
Преобразуем каждый член выражения: $\frac{1}{2} log_7 36 = log_7(36^{\frac{1}{2}}) = log_7(\sqrt{36}) = log_7 6$.
$3 log_7 \sqrt[3]{21} = 3 log_7(21^{\frac{1}{3}}) = log_7((21^{\frac{1}{3}})^3) = log_7 21$.
Подставим преобразованные значения в исходное выражение: $log_7 6 - log_7 14 - log_7 21$.
Теперь применяем свойство разности логарифмов: $log_7(\frac{6}{14}) - log_7 21 = log_7(\frac{6}{14 \cdot 21})$.
Упростим выражение под логарифмом: $\frac{6}{14 \cdot 21} = \frac{2 \cdot 3}{(2 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 7)} = \frac{1}{7 \cdot 7} = \frac{1}{49}$.
Получаем $log_7(\frac{1}{49})$.
Так как $\frac{1}{49} = 49^{-1} = (7^2)^{-1} = 7^{-2}$, то: $log_7(7^{-2}) = -2 \cdot log_7 7 = -2 \cdot 1 = -2$.
Ответ: -2.

4) Используем те же свойства логарифмов, что и в предыдущем задании.
Преобразуем каждый член выражения: $2 log_{\frac{1}{3}} 6 = log_{\frac{1}{3}}(6^2) = log_{\frac{1}{3}} 36$.
$\frac{1}{2} log_{\frac{1}{3}} 400 = log_{\frac{1}{3}}(400^{\frac{1}{2}}) = log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{400}) = log_{\frac{1}{3}} 20$.
$3 log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{45} = 3 log_{\frac{1}{3}}(45^{\frac{1}{3}}) = log_{\frac{1}{3}}((45^{\frac{1}{3}})^3) = log_{\frac{1}{3}} 45$.
Подставим полученные выражения в исходное: $log_{\frac{1}{3}} 36 - log_{\frac{1}{3}} 20 + log_{\frac{1}{3}} 45$.
Применим свойства сложения и вычитания логарифмов: $log_{\frac{1}{3}}(\frac{36}{20}) + log_{\frac{1}{3}} 45 = log_{\frac{1}{3}}(\frac{36 \cdot 45}{20})$.
Упростим выражение под логарифмом: $\frac{36 \cdot 45}{20} = \frac{36 \cdot 9 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{36 \cdot 9}{4} = 9 \cdot 9 = 81$.
Получаем $log_{\frac{1}{3}} 81$.
Чтобы найти значение, решим уравнение $(\frac{1}{3})^x = 81$. Представим обе части равенства как степени числа 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $81 = 3^4$. $(3^{-1})^x = 3^4 \implies 3^{-x} = 3^4$.
Отсюда $-x=4$, следовательно $x=-4$.
Ответ: -4.