Номер 773, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

773. 1) $7^{2x} + 7^x - 12 = 0;$

2) $9^x - 3^x - 12 = 0;$

3) $8^{x+1} - 8^{2x-1} = 30;$

4) $(\frac{1}{9})^x - 5(\frac{1}{3})^x + 6 = 0.$

1) Дано показательное уравнение $7^{2x} + 7^x - 12 = 0$.
Заметим, что $7^{2x} = (7^x)^2$. Уравнение можно переписать в виде: $(7^x)^2 + 7^x - 12 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $7^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 7^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
В новых переменных уравнение принимает вид: $t^2 + t - 12 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни этого уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$.
Проверим условие $t > 0$. Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.
Корень $t_1 = 3$ удовлетворяет условию.
Выполним обратную замену: $7^x = 3$.
По определению логарифма, $x = \log_7 3$.
Ответ: $x = \log_7 3$.

2) Дано показательное уравнение $9^x - 3^x - 12 = 0$.
Представим $9^x$ как $(3^2)^x = (3^x)^2$. Уравнение примет вид: $(3^x)^2 - 3^x - 12 = 0$.
Сделаем замену переменной $y = 3^x$, где $y > 0$.
Получим квадратное уравнение: $y^2 - y - 12 = 0$.
Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -12. Следовательно, корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -3$.
Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y > 0$.
Остается корень $y_1 = 4$.
Выполним обратную замену: $3^x = 4$.
Отсюда $x = \log_3 4$.
Ответ: $x = \log_3 4$.

3) Дано уравнение $8^{x+1} - 8^{2x-1} = 30$.
Используя свойства степеней $a^{m+n}=a^m a^n$ и $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$, преобразуем уравнение: $8^x \cdot 8^1 - \frac{8^{2x}}{8^1} = 30$
$8 \cdot 8^x - \frac{(8^x)^2}{8} = 30$.
Сделаем замену $z = 8^x$, где $z > 0$. $8z - \frac{z^2}{8} = 30$.
Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от знаменателя: $64z - z^2 = 240$.
Перенесем все члены в одну сторону и запишем стандартное квадратное уравнение: $z^2 - 64z + 240 = 0$.
Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-64)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240 = 4096 - 960 = 3136 = 56^2$.
Корни уравнения: $z_{1,2} = \frac{64 \pm 56}{2}$.
$z_1 = \frac{64 + 56}{2} = \frac{120}{2} = 60$.
$z_2 = \frac{64 - 56}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Оба корня положительны, поэтому оба подходят. Выполним обратную замену для каждого корня.
1) $8^x = 60 \implies x_1 = \log_8 60$.
2) $8^x = 4 \implies (2^3)^x = 2^2 \implies 2^{3x} = 2^2 \implies 3x = 2 \implies x_2 = \frac{2}{3}$.
Ответ: $x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = \log_8 60$.

4) Дано уравнение $(\frac{1}{9})^x - 5(\frac{1}{3})^x + 6 = 0$.
Так как $\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$, то $(\frac{1}{9})^x = ((\frac{1}{3})^2)^x = ((\frac{1}{3})^x)^2$.
Уравнение принимает вид: $((\frac{1}{3})^x)^2 - 5(\frac{1}{3})^x + 6 = 0$.
Пусть $u = (\frac{1}{3})^x$, где $u > 0$. Получим квадратное уравнение: $u^2 - 5u + 6 = 0$.
Его корни легко находятся по теореме Виета: $u_1 = 2$ и $u_2 = 3$.
Оба корня положительны. Выполним обратную замену.
1) $(\frac{1}{3})^x = 2$.
По определению логарифма, $x_1 = \log_{1/3} 2$. Данный ответ также можно записать в виде $x_1 = -\log_3 2$.
2) $(\frac{1}{3})^x = 3$.
Представим как $3^{-x} = 3^1$. Приравнивая показатели степени, получаем $-x=1$, откуда $x_2 = -1$.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = \log_{1/3} 2$.