Номер 772, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

772. 1) $\log_x 27 = 3;$

2) $\log_x \frac{1}{7} = -1;$

3) $\log_x \sqrt{5} = -4;$

4) $\log_x 0,2 = -3.$

1) Согласно определению логарифма ($log_b a = c \iff b^c = a$), исходное уравнение $log_x 27 = 3$ можно переписать в виде степенного уравнения: $x^3 = 27$. Поскольку $27$ это $3$ в третьей степени ($27 = 3^3$), уравнение принимает вид: $x^3 = 3^3$. Из этого следует, что $x = 3$. Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице ($x>0, x \neq 1$). Значение $x=3$ удовлетворяет данным условиям.
Ответ: $3$.

2) Используя определение логарифма, преобразуем уравнение $log_x \frac{1}{7} = -1$ в степенное: $x^{-1} = \frac{1}{7}$. По свойству степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), левая часть уравнения равна $\frac{1}{x}$. Таким образом, получаем равенство: $\frac{1}{x} = \frac{1}{7}$. Отсюда следует, что $x=7$. Проверяем, удовлетворяет ли найденное значение условиям для основания логарифма ($x>0, x \neq 1$). $7>0$ и $7 \neq 1$, следовательно, решение верно.
Ответ: $7$.

3) По определению логарифма, уравнение $log_x \sqrt{5} = -4$ эквивалентно степенному уравнению: $x^{-4} = \sqrt{5}$. Представим корень и левую часть в виде степеней: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$ и $x^{-4} = \frac{1}{x^4}$. Уравнение принимает вид: $x^{-4} = 5^{\frac{1}{2}}$. Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень $-\frac{1}{4}$: $(x^{-4})^{-\frac{1}{4}} = (5^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{4}}$. Применяя свойство степеней ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), получаем: $x^{(-4) \cdot (-\frac{1}{4})} = 5^{\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{4})}$. $x^1 = 5^{-\frac{1}{8}}$. Таким образом, $x = 5^{-\frac{1}{8}}$, что также можно записать как $\frac{1}{\sqrt[8]{5}}$. Это значение положительно и не равно единице.
Ответ: $5^{-\frac{1}{8}}$.

4) Используя определение логарифма, преобразуем уравнение $log_x 0,2 = -3$ в степенное: $x^{-3} = 0,2$. Представим десятичную дробь $0,2$ в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Уравнение принимает вид: $x^{-3} = \frac{1}{5}$. По свойству степени с отрицательным показателем, $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$. Получаем: $\frac{1}{x^3} = \frac{1}{5}$. Отсюда следует, что $x^3 = 5$. Извлекая кубический корень из обеих частей, находим $x$: $x = \sqrt[3]{5}$. Это значение удовлетворяет условиям для основания логарифма ($x > 0$ и $x \neq 1$).
Ответ: $\sqrt[3]{5}$.