Номер 766, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (766–768).

766.

1) $log_2 \sqrt[4]{2}$; 2) $log_3 \frac{1}{3\sqrt{3}}$; 3) $log_{0,5} \frac{1}{\sqrt{32}}$; 4) $log_7 \frac{\sqrt[3]{7}}{49}$;

5) $log_{128} 64$; 6) $log_{27} 243$; 7) $log_{64} 256$; 8) $log_{81} 27$;

9) $log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3\sqrt[4]{3}}$; 10) $log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4\sqrt[3]{2}}$.

1) Чтобы вычислить $ \log_2 \sqrt[4]{2} $, представим аргумент логарифма, $ \sqrt[4]{2} $, в виде степени с основанием 2.
Используя свойство корня $ \sqrt[n]{a} = a^{1/n} $, получаем: $ \sqrt[4]{2} = 2^{1/4} $.
Подставим это в исходное выражение: $ \log_2 2^{1/4} $.
По определению логарифма (или по свойству $ \log_a a^x = x $), значение этого выражения равно показателю степени.
$ \log_2 2^{1/4} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

2) Для вычисления $ \log_3 \frac{1}{3\sqrt{3}} $, представим аргумент логарифма как степень с основанием 3.
Сначала преобразуем знаменатель: $ 3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{1 + 1/2} = 3^{3/2} $.
Теперь преобразуем всю дробь: $ \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{3/2}} = 3^{-3/2} $.
Подставляем в логарифм: $ \log_3 3^{-3/2} $.
Используя свойство $ \log_a a^x = x $, получаем: $ \log_3 3^{-3/2} = -\frac{3}{2} $.
Ответ: $ -1.5 $ или $ -\frac{3}{2} $.

3) Для вычисления $ \log_{0.5} \frac{1}{\sqrt{32}} $, представим основание и аргумент логарифма в виде степеней одного и того же числа, например, 2.
Основание: $ 0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} $.
Аргумент: $ \frac{1}{\sqrt{32}} = \frac{1}{\sqrt{2^5}} = \frac{1}{2^{5/2}} = 2^{-5/2} $.
Исходное выражение принимает вид: $ \log_{2^{-1}} 2^{-5/2} $.
Используем свойство логарифма $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:
$ \log_{2^{-1}} 2^{-5/2} = \frac{-5/2}{-1} \log_2 2 = \frac{5}{2} \cdot 1 = \frac{5}{2} $.
Ответ: $ 2.5 $ или $ \frac{5}{2} $.

4) Чтобы вычислить $ \log_7 \frac{\sqrt[3]{7}}{49} $, представим аргумент логарифма как степень с основанием 7.
Представим числитель и знаменатель дроби в виде степеней 7: $ \sqrt[3]{7} = 7^{1/3} $ и $ 49 = 7^2 $.
Тогда дробь равна: $ \frac{7^{1/3}}{7^2} = 7^{1/3 - 2} = 7^{1/3 - 6/3} = 7^{-5/3} $.
Подставляем в логарифм: $ \log_7 7^{-5/3} $.
По свойству $ \log_a a^x = x $, получаем: $ \log_7 7^{-5/3} = -\frac{5}{3} $.
Ответ: $ -\frac{5}{3} $.

5) Для вычисления $ \log_{128} 64 $, представим основание и аргумент логарифма как степени одного числа. Оба числа являются степенями 2.
Основание: $ 128 = 2^7 $.
Аргумент: $ 64 = 2^6 $.
Выражение принимает вид: $ \log_{2^7} 2^6 $.
Используем свойство $ \log_{a^k} a^m = \frac{m}{k} $:
$ \log_{2^7} 2^6 = \frac{6}{7} $.
Ответ: $ \frac{6}{7} $.

6) Для вычисления $ \log_{27} 243 $, представим основание и аргумент как степени числа 3.
Основание: $ 27 = 3^3 $.
Аргумент: $ 243 = 3^5 $.
Выражение принимает вид: $ \log_{3^3} 3^5 $.
Используем свойство $ \log_{a^k} a^m = \frac{m}{k} $:
$ \log_{3^3} 3^5 = \frac{5}{3} $.
Ответ: $ \frac{5}{3} $.

7) Для вычисления $ \log_{64} 256 $, представим основание и аргумент как степени одного числа, например, 4 (или 2).
Основание: $ 64 = 4^3 $.
Аргумент: $ 256 = 4^4 $.
Выражение принимает вид: $ \log_{4^3} 4^4 $.
Используем свойство $ \log_{a^k} a^m = \frac{m}{k} $:
$ \log_{4^3} 4^4 = \frac{4}{3} $.
(Альтернативно, через степень 2: $ 64=2^6, 256=2^8 $, тогда $ \log_{2^6} 2^8 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $).
Ответ: $ \frac{4}{3} $.

8) Для вычисления $ \log_{81} 27 $, представим основание и аргумент как степени числа 3.
Основание: $ 81 = 3^4 $.
Аргумент: $ 27 = 3^3 $.
Выражение принимает вид: $ \log_{3^4} 3^3 $.
Используем свойство $ \log_{a^k} a^m = \frac{m}{k} $:
$ \log_{3^4} 3^3 = \frac{3}{4} $.
Ответ: $ 0.75 $ или $ \frac{3}{4} $.

9) Для вычисления $ \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3\sqrt[4]{3}} $, представим основание и аргумент как степени числа 3.
Основание: $ \sqrt{3} = 3^{1/2} $.
Аргумент: $ \frac{1}{3\sqrt[4]{3}} = \frac{1}{3^1 \cdot 3^{1/4}} = \frac{1}{3^{1+1/4}} = \frac{1}{3^{5/4}} = 3^{-5/4} $.
Выражение принимает вид: $ \log_{3^{1/2}} 3^{-5/4} $.
Используем свойство $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:
$ \log_{3^{1/2}} 3^{-5/4} = \frac{-5/4}{1/2} \log_3 3 = \frac{-5/4}{1/2} = -\frac{5}{4} \cdot 2 = -\frac{5}{2} $.
Ответ: $ -2.5 $ или $ -\frac{5}{2} $.

10) Для вычисления $ \log_{1/2} \frac{1}{4\sqrt[3]{2}} $, представим основание и аргумент как степени числа 2.
Основание: $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $.
Аргумент: $ \frac{1}{4\sqrt[3]{2}} = \frac{1}{2^2 \cdot 2^{1/3}} = \frac{1}{2^{2+1/3}} = \frac{1}{2^{7/3}} = 2^{-7/3} $.
Выражение принимает вид: $ \log_{2^{-1}} 2^{-7/3} $.
Используем свойство $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:
$ \log_{2^{-1}} 2^{-7/3} = \frac{-7/3}{-1} \log_2 2 = \frac{7}{3} \cdot 1 = \frac{7}{3} $.
Ответ: $ \frac{7}{3} $.