Номер 769, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

При каких значениях $x$ имеет смысл выражение (769-770)?

769. 1) $\log_6 (49 - x^2)$;

2) $\log_7 (x^2 + x - 6)$;

3) $\log_{\frac{1}{5}} (x^2 + 2x + 7)$;

4) $y = \log_{0,3} (7x - 2x^2 - 3)$;

5) $y = \log_2 \frac{2x - 1}{x - 5}$;

6) $y = \log_{\frac{1}{7}} \frac{5x + 1}{4 - x}$;

7) $y = \log_{10} \sqrt{x^2 - 1}$;

8) $y = \log_{0,1} \sqrt{9 - x^2}$.

1) Выражение $ \log_6(49 - x^2) $ имеет смысл, когда аргумент логарифма строго больше нуля. Решим неравенство:
$ 49 - x^2 > 0 $
$ x^2 < 49 $
$ |x| < 7 $
Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $ -7 < x < 7 $.
Таким образом, $ x $ принадлежит интервалу $ (-7; 7) $.
Ответ: $ x \in (-7; 7) $.

2) Выражение $ \log_7(x^2 + x - 6) $ имеет смысл, когда аргумент логарифма строго больше нуля. Решим неравенство:
$ x^2 + x - 6 > 0 $
Найдем корни квадратного уравнения $ x^2 + x - 6 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = -3 $ и $ x_2 = 2 $.
Парабола $ y = x^2 + x - 6 $ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Следовательно, $ x < -3 $ или $ x > 2 $.
Ответ: $ x \in (-\infty; -3) \cup (2; \infty) $.

3) Выражение $ \log_{\frac{1}{5}}(x^2 + 2x + 7) $ имеет смысл, когда аргумент логарифма строго больше нуля. Решим неравенство:
$ x^2 + 2x + 7 > 0 $
Рассмотрим квадратный трехчлен $ x^2 + 2x + 7 $. Найдем его дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24 $.
Так как дискриминант отрицателен ($ D < 0 $) и старший коэффициент положителен ($ a = 1 > 0 $), квадратный трехчлен положителен при любых значениях $ x $.
Ответ: $ x \in (-\infty; \infty) $.

4) Выражение $ y = \log_{0.3}(7x - 2x^2 - 3) $ имеет смысл, когда аргумент логарифма строго больше нуля. Решим неравенство:
$ 7x - 2x^2 - 3 > 0 $
$ -2x^2 + 7x - 3 > 0 $
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$ 2x^2 - 7x + 3 < 0 $
Найдем корни уравнения $ 2x^2 - 7x + 3 = 0 $. $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 $.
$ x_1 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2} $, $ x_2 = \frac{7 + 5}{4} = 3 $.
Парабола $ y = 2x^2 - 7x + 3 $ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.
Следовательно, $ \frac{1}{2} < x < 3 $.
Ответ: $ x \in (\frac{1}{2}; 3) $.

5) Выражение $ y = \log_2\frac{2x - 1}{x - 5} $ имеет смысл, когда аргумент логарифма строго больше нуля. Решим неравенство:
$ \frac{2x - 1}{x - 5} > 0 $
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $ 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5 $. Нуль знаменателя: $ x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 $.
На числовой прямой отмечаем точки 0.5 и 5, которые разбивают ее на три интервала.
При $ x > 5 $ (например, $ x=6 $), дробь $ \frac{11}{1} > 0 $.
При $ 0.5 < x < 5 $ (например, $ x=1 $), дробь $ \frac{1}{-4} < 0 $.
При $ x < 0.5 $ (например, $ x=0 $), дробь $ \frac{-1}{-5} > 0 $.
Нас интересуют интервалы, где дробь положительна.
Ответ: $ x \in (-\infty; 0.5) \cup (5; \infty) $.

6) Выражение $ y = \log_{\frac{1}{7}}\frac{5x + 1}{4 - x} $ имеет смысл, когда аргумент логарифма строго больше нуля. Решим неравенство:
$ \frac{5x + 1}{4 - x} > 0 $
Решим методом интервалов. Нули числителя: $ 5x + 1 = 0 \Rightarrow x = -0.2 $. Нуль знаменателя: $ 4 - x = 0 \Rightarrow x = 4 $.
На числовой прямой отмечаем точки -0.2 и 4.
При $ x > 4 $ (например, $ x=5 $), дробь $ \frac{26}{-1} < 0 $.
При $ -0.2 < x < 4 $ (например, $ x=0 $), дробь $ \frac{1}{4} > 0 $.
При $ x < -0.2 $ (например, $ x=-1 $), дробь $ \frac{-4}{5} < 0 $.
Нас интересует интервал, где дробь положительна.
Ответ: $ x \in (-0.2; 4) $.

7) Выражение $ y = \log_{10}\sqrt{x^2 - 1} $ имеет смысл, когда аргумент логарифма строго больше нуля. Решим неравенство:
$ \sqrt{x^2 - 1} > 0 $
Квадратный корень положителен тогда, когда подкоренное выражение строго положительно.
$ x^2 - 1 > 0 $
$ x^2 > 1 $
$ |x| > 1 $, что означает $ x < -1 $ или $ x > 1 $.
Ответ: $ x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty) $.

8) Выражение $ y = \log_{0.1}\sqrt{9 - x^2} $ имеет смысл, когда аргумент логарифма строго больше нуля. Решим неравенство:
$ \sqrt{9 - x^2} > 0 $
Подкоренное выражение должно быть строго положительным.
$ 9 - x^2 > 0 $
$ x^2 < 9 $
$ |x| < 3 $, что означает $ -3 < x < 3 $.
Ответ: $ x \in (-3; 3) $.