Номер 776, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

776. Решить относительно $x$ уравнение $9^x + 9a(1 - a) \cdot 3^{x-2} - a^3 = 0.$

Данное уравнение является показательным уравнением с параметром $a$.

$9^x + 9a(1-a) \cdot 3^{x-2} - a^3 = 0$

Преобразуем уравнение, приведя его к общему основанию 3. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$ и $3^{x-2} = 3^x \cdot 3^{-2} = \frac{3^x}{9}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(3^x)^2 + 9a(1-a) \cdot \frac{3^x}{9} - a^3 = 0$

$(3^x)^2 + a(1-a) \cdot 3^x - a^3 = 0$

$(3^x)^2 + (a-a^2) \cdot 3^x - a^3 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $3^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, то на новую переменную $t$ накладывается ограничение $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + (a-a^2)t - a^3 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем его дискриминант $D$:

$D = (a-a^2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a^3) = a^2(1-a)^2 + 4a^3 = a^2(1 - 2a + a^2) + 4a^3$

$D = a^2 - 2a^3 + a^4 + 4a^3 = a^4 + 2a^3 + a^2$

Заметим, что полученное выражение для дискриминанта является полным квадратом:

$D = a^2(a^2 + 2a + 1) = a^2(a+1)^2 = (a(a+1))^2$

Теперь найдем корни уравнения для $t$, используя формулу корней квадратного уравнения:

$t = \frac{-(a-a^2) \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{a^2 - a \pm \sqrt{(a(a+1))^2}}{2} = \frac{a^2 - a \pm |a(a+1)|}{2}$

Независимо от знака выражения $a(a+1)$, мы получаем два корня (которые могут совпадать):

$t_1 = \frac{a^2 - a + (a^2+a)}{2} = \frac{2a^2}{2} = a^2$

$t_2 = \frac{a^2 - a - (a^2+a)}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$

Теперь необходимо проверить выполнение условия $t > 0$ для каждого из корней и найти $x$.

1. Корень $t_1 = a^2$.

Условие $t_1 > 0$ равносильно $a^2 > 0$, что выполняется для всех $a \neq 0$.

2. Корень $t_2 = -a$.

Условие $t_2 > 0$ равносильно $-a > 0$, что выполняется при $a < 0$.

Рассмотрим все возможные случаи для параметра $a$:

Случай 1: $a > 0$

В этом случае $t_1 = a^2 > 0$ (является положительным корнем), а $t_2 = -a < 0$ (не является положительным корнем). Следовательно, имеем одно решение для $t$.

$3^x = t_1 = a^2$

$x = \log_3(a^2) = 2\log_3 a$

Случай 2: $a = 0$

Исходное уравнение принимает вид $9^x = 0$, что не имеет решений. Кроме того, оба корня для $t$ равны нулю ($t_1=0^2=0, t_2=-0=0$), что не удовлетворяет условию $t > 0$.

Случай 3: $a < 0$

В этом случае оба корня для $t$ положительны:

$t_1 = a^2 > 0$

$t_2 = -a > 0$

Следовательно, получаем два уравнения для $x$:

1) $3^x = t_1 = a^2 \implies x_1 = \log_3(a^2) = 2\log_3|a|$

2) $3^x = t_2 = -a \implies x_2 = \log_3(-a)$

Если $a = -1$, то $a^2 = 1$ и $-a = 1$. Корни $t_1$ и $t_2$ совпадают, и уравнение имеет одно решение $x = \log_3(1) = 0$. Наши формулы дают $x_1 = 2\log_3|-1| = 2\log_3(1) = 0$ и $x_2 = \log_3(-(-1)) = \log_3(1)=0$, что верно.

Ответ:

при $a > 0$: $x = 2\log_3 a$;

при $a = 0$: решений нет;

при $a < 0$: $x_1 = 2\log_3|a|$, $x_2 = \log_3(-a)$.