Номер 783, страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (783-784).

783. 1) $\frac{\log_3 8}{\log_3 16}$;

2) $\frac{\log_5 27}{\log_5 9}$;

3) $\frac{\log_5 36 - \log_5 12}{\log_5 9}$;

4) $\frac{\log_7 8}{\log_7 15 - \log_7 30}$.

1)

Для вычисления значения выражения $\frac{\log_3 8}{\log_3 16}$ воспользуемся свойством логарифма степени: $\log_a (b^p) = p \cdot \log_a b$. Это свойство позволяет выносить показатель степени из-под знака логарифма.

Представим числа 8 и 16 как степени числа 2:

$\log_3 8 = \log_3 (2^3) = 3 \log_3 2$

$\log_3 16 = \log_3 (2^4) = 4 \log_3 2$

Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{\log_3 8}{\log_3 16} = \frac{3 \log_3 2}{4 \log_3 2}$

Сократим общий множитель $\log_3 2$ в числителе и знаменателе, так как он не равен нулю:

$\frac{3}{4}$

Также это можно было решить, используя формулу перехода к новому основанию: $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$. Тогда $\frac{\log_3 8}{\log_3 16} = \log_{16} 8$. Так как $16^{3/4} = (2^4)^{3/4} = 2^3 = 8$, то $\log_{16} 8 = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

2)

Для вычисления выражения $\frac{\log_5 27}{\log_5 9}$ используем тот же метод, что и в предыдущем задании, — свойство логарифма степени $\log_a (b^p) = p \cdot \log_a b$.

Представим числа 27 и 9 как степени числа 3:

$\log_5 27 = \log_5 (3^3) = 3 \log_5 3$

$\log_5 9 = \log_5 (3^2) = 2 \log_5 3$

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{\log_5 27}{\log_5 9} = \frac{3 \log_5 3}{2 \log_5 3}$

Сократим общий множитель $\log_5 3$:

$\frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $1.5$

3)

Рассмотрим выражение $\frac{\log_5 36 - \log_5 12}{\log_5 9}$.

Сначала упростим числитель, используя свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$.

$\log_5 36 - \log_5 12 = \log_5 (\frac{36}{12}) = \log_5 3$

Теперь выражение имеет вид: $\frac{\log_5 3}{\log_5 9}$.

Упростим знаменатель, представив 9 как $3^2$ и использовав свойство логарифма степени:

$\log_5 9 = \log_5 (3^2) = 2 \log_5 3$

Подставим упрощенный знаменатель в дробь:

$\frac{\log_5 3}{2 \log_5 3}$

Сократим общий множитель $\log_5 3$:

$\frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

4)

Рассмотрим выражение $\frac{\log_7 8}{\log_7 15 - \log_7 30}$.

Сначала упростим знаменатель, используя свойство разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$.

$\log_7 15 - \log_7 30 = \log_7 (\frac{15}{30}) = \log_7 (\frac{1}{2})$

Теперь выражение имеет вид: $\frac{\log_7 8}{\log_7 (\frac{1}{2})}$.

Далее воспользуемся свойством логарифма степени $\log_a (b^p) = p \cdot \log_a b$ для числителя и знаменателя. Представим 8 как $2^3$ и $\frac{1}{2}$ как $2^{-1}$.

Числитель: $\log_7 8 = \log_7 (2^3) = 3 \log_7 2$

Знаменатель: $\log_7 (\frac{1}{2}) = \log_7 (2^{-1}) = -1 \cdot \log_7 2 = -\log_7 2$

Подставим упрощенные выражения в дробь:

$\frac{3 \log_7 2}{-\log_7 2}$

Сократим общий множитель $\log_7 2$:

$\frac{3}{-1} = -3$

Ответ: $-3$