Номер 785, страница 247 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

785. Найти x по данному его логарифму $ (a > 0, b > 0) $:

1) $\log_3 x = 4 \log_3 a + 7 \log_3 b$;

2) $\log_5 x = 2 \log_5 a - 3 \log_5 b$;

3) $\log_{\frac{1}{2}} x = \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} a - \frac{1}{5} \log_{\frac{1}{2}} b$;

4) $\log_{\frac{2}{3}} x = \frac{1}{4} \log_{\frac{2}{3}} a + \frac{4}{7} \log_{\frac{2}{3}} b$.

1) Дано уравнение $\log_3 x = 4 \log_3 a + 7 \log_3 b$. Для нахождения $x$ воспользуемся свойствами логарифмов.
Сначала применим свойство степени логарифма $n \log_c k = \log_c (k^n)$ к правой части уравнения:
$4 \log_3 a = \log_3(a^4)$
$7 \log_3 b = \log_3(b^7)$
Подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:
$\log_3 x = \log_3(a^4) + \log_3(b^7)$
Теперь применим свойство суммы логарифмов $\log_c k + \log_c m = \log_c (km)$:
$\log_3 x = \log_3(a^4 b^7)$
Так как основания логарифмов равны, то и их аргументы должны быть равны:
$x = a^4 b^7$
Ответ: $x = a^4 b^7$.

2) Дано уравнение $\log_5 x = 2 \log_5 a - 3 \log_5 b$.
Используем свойство степени логарифма $n \log_c k = \log_c (k^n)$:
$2 \log_5 a = \log_5(a^2)$
$3 \log_5 b = \log_5(b^3)$
Подставим в уравнение:
$\log_5 x = \log_5(a^2) - \log_5(b^3)$
Далее используем свойство разности логарифмов $\log_c k - \log_c m = \log_c (\frac{k}{m})$:
$\log_5 x = \log_5(\frac{a^2}{b^3})$
Приравниваем аргументы логарифмов:
$x = \frac{a^2}{b^3}$
Ответ: $x = \frac{a^2}{b^3}$.

3) Дано уравнение $\log_{\frac{1}{2}} x = \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} a - \frac{1}{5} \log_{\frac{1}{2}} b$.
Применим свойство степени логарифма к правой части:
$\frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} a = \log_{\frac{1}{2}}(a^{\frac{2}{3}})$
$\frac{1}{5} \log_{\frac{1}{2}} b = \log_{\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{5}})$
Подставим в уравнение:
$\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{\frac{1}{2}}(a^{\frac{2}{3}}) - \log_{\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{5}})$
Применим свойство разности логарифмов:
$\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{5}}})$
Приравниваем аргументы:
$x = \frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{5}}}$
Это выражение также можно записать с помощью корней: $x = \frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[5]{b}}$.
Ответ: $x = \frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{5}}}$.

4) Дано уравнение $\log_{\frac{2}{3}} x = \frac{1}{4} \log_{\frac{2}{3}} a + \frac{4}{7} \log_{\frac{2}{3}} b$.
Снова используем свойство степени логарифма:
$\frac{1}{4} \log_{\frac{2}{3}} a = \log_{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{4}})$
$\frac{4}{7} \log_{\frac{2}{3}} b = \log_{\frac{2}{3}}(b^{\frac{4}{7}})$
Подставим в уравнение:
$\log_{\frac{2}{3}} x = \log_{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{4}}) + \log_{\frac{2}{3}}(b^{\frac{4}{7}})$
Теперь используем свойство суммы логарифмов:
$\log_{\frac{2}{3}} x = \log_{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{4}{7}})$
Приравниваем аргументы логарифмов:
$x = a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{4}{7}}$
Это выражение также можно записать с помощью корней: $x = \sqrt[4]{a} \sqrt[7]{b^4}$.
Ответ: $x = a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{4}{7}}$.