Номер 792, страница 247 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

792. Решить уравнение:

1) $\log_{x^2} 9 + \log_{\sqrt{x}} 4 = 2$;

2) $\log_{x^2} 16 - \log_{\sqrt{x}} 7 = 2$;

3) $2 \log_x 7 - \frac{1}{2} \log_{x^2} 16 + \frac{1}{4} \log_{\sqrt{x}} 64 = 2$;

4) $\frac{1}{2} \log_x 7 - \log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3 - \log_{x^2} 28 = 1$.

1) Исходное уравнение: $log_{x^2} 9 + log_{\sqrt{x}} 4 = 2$. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице. Из условий $x^2 > 0 \implies x \ne 0$; $x^2 \ne 1 \implies x \ne \pm 1$; $\sqrt{x} > 0 \implies x > 0$; $\sqrt{x} \ne 1 \implies x \ne 1$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$. Приведем логарифмы к основанию $x$, используя свойство $log_{a^k} b = \frac{1}{k} log_a b$. $log_{x^2} 9 = log_{x^2} 3^2 = \frac{2}{2} log_x 3 = log_x 3$. $log_{\sqrt{x}} 4 = log_{x^{1/2}} 4 = \frac{1}{1/2} log_x 4 = 2 log_x 4 = log_x 4^2 = log_x 16$. Подставим преобразованные логарифмы в исходное уравнение: $log_x 3 + log_x 16 = 2$. По свойству суммы логарифмов $log_a b + log_a c = log_a(bc)$: $log_x (3 \cdot 16) = 2$. $log_x 48 = 2$. По определению логарифма: $x^2 = 48$. $x = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$. (Второй корень $x = -4\sqrt{3}$ не входит в ОДЗ, так как $x>0$). Полученный корень $x = 4\sqrt{3}$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $4\sqrt{3}$.

2) Исходное уравнение: $log_{x^2} 16 - log_{\sqrt{x}} 7 = 2$. ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$. Приведем логарифмы к основанию $x$: $log_{x^2} 16 = log_{x^2} 4^2 = \frac{2}{2} log_x 4 = log_x 4$. $log_{\sqrt{x}} 7 = log_{x^{1/2}} 7 = \frac{1}{1/2} log_x 7 = 2 log_x 7 = log_x 7^2 = log_x 49$. Подставим в уравнение: $log_x 4 - log_x 49 = 2$. По свойству разности логарифмов $log_a b - log_a c = log_a(b/c)$: $log_x \frac{4}{49} = 2$. По определению логарифма: $x^2 = \frac{4}{49}$. $x = \sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{2}{7}$. (Второй корень $x = -2/7$ не удовлетворяет ОДЗ). Корень $x = 2/7$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $\frac{2}{7}$.

3) Исходное уравнение: $2 log_x 7 - \frac{1}{2} log_{x^2} 16 + \frac{1}{4} log_{\sqrt{x}} 64 = 2$. ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$. Преобразуем каждый член уравнения к логарифму с основанием $x$: $2 log_x 7 = log_x 7^2 = log_x 49$. $\frac{1}{2} log_{x^2} 16 = \frac{1}{2} log_{x^2} 4^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} log_x 4 = \frac{1}{2} log_x 4 = log_x 4^{1/2} = log_x 2$. $\frac{1}{4} log_{\sqrt{x}} 64 = \frac{1}{4} log_{x^{1/2}} 64 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1/2} log_x 64 = \frac{1}{4} \cdot 2 log_x 64 = \frac{1}{2} log_x 64 = log_x 64^{1/2} = log_x 8$. Подставим в уравнение: $log_x 49 - log_x 2 + log_x 8 = 2$. Используя свойства логарифмов, объединим члены в левой части: $log_x \frac{49 \cdot 8}{2} = 2$. $log_x (49 \cdot 4) = 2$. $log_x 196 = 2$. По определению логарифма: $x^2 = 196$. $x = 14$. (Второй корень $x = -14$ не удовлетворяет ОДЗ). Корень $x = 14$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $14$.

4) Исходное уравнение: $\frac{1}{2} log_x 7 - log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3 - log_{x^2} 28 = 1$. ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$. Приведем все логарифмы к основанию $x$: $\frac{1}{2} log_x 7 = log_x 7^{1/2} = log_x \sqrt{7}$. $log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3 = log_{x^{-1/2}} 3 = \frac{1}{-1/2} log_x 3 = -2 log_x 3 = log_x 3^{-2} = log_x \frac{1}{9}$. $log_{x^2} 28 = \frac{1}{2} log_x 28 = log_x 28^{1/2} = log_x \sqrt{28} = log_x (2\sqrt{7})$. Подставим в уравнение: $log_x \sqrt{7} - log_x \frac{1}{9} - log_x (2\sqrt{7}) = 1$. Объединим логарифмы: $log_x \frac{\sqrt{7}}{\frac{1}{9} \cdot 2\sqrt{7}} = 1$. $log_x \frac{\sqrt{7}}{\frac{2\sqrt{7}}{9}} = 1$. $log_x (\sqrt{7} \cdot \frac{9}{2\sqrt{7}}) = 1$. $log_x \frac{9}{2} = 1$. По определению логарифма: $x^1 = \frac{9}{2}$. $x = 4.5$. Корень $x = 4.5$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $4.5$.