Номер 794, страница 247 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

794. Выразить через $a$ и $b$:

1) $\log_{\sqrt{3}} 50$, если $\log_3 15 = a$, $\log_3 10 = b$;

2) $\log_4 1250$, если $\log_2 5 = a$.

1)

Дано: $\log_3 15 = a$, $\log_3 10 = b$. Нужно выразить $\log_{\sqrt{3}} 50$ через $a$ и $b$.

Для начала приведем все логарифмы к одному основанию. Удобнее всего использовать основание 3, так как оно присутствует в данных нам выражениях. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x}$.

Применим эту формулу к выражению $\log_{\sqrt{3}} 50$, выбрав в качестве нового основания $z=3$:

$\log_{\sqrt{3}} 50 = \frac{\log_3 50}{\log_3 \sqrt{3}}$

Теперь упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Знаменатель: $\log_3 \sqrt{3} = \log_3 3^{1/2} = \frac{1}{2} \log_3 3 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Числитель: $\log_3 50$. Нам нужно выразить его через $a$ и $b$. Для этого преобразуем данные нам выражения:

$a = \log_3 15 = \log_3 (3 \cdot 5) = \log_3 3 + \log_3 5 = 1 + \log_3 5$.

Отсюда можем выразить $\log_3 5$:

$\log_3 5 = a - 1$.

Теперь преобразуем $\log_3 50$, используя свойство логарифма произведения и известные нам значения:

$\log_3 50 = \log_3 (5 \cdot 10) = \log_3 5 + \log_3 10$.

Подставим известные нам выражения: $\log_3 5 = a - 1$ и $\log_3 10 = b$.

$\log_3 50 = (a - 1) + b = a + b - 1$.

Теперь вернемся к исходной дроби и подставим найденные значения числителя и знаменателя:

$\log_{\sqrt{3}} 50 = \frac{\log_3 50}{\log_3 \sqrt{3}} = \frac{a + b - 1}{1/2} = 2(a + b - 1)$.

Ответ: $2(a + b - 1)$.

2)

Дано: $\log_2 5 = a$. Нужно выразить $\log_4 1250$ через $a$.

Приведем логарифм $\log_4 1250$ к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x}$.

$\log_4 1250 = \frac{\log_2 1250}{\log_2 4}$

Упростим знаменатель:

$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2 \log_2 2 = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь преобразуем числитель. Для этого разложим число 1250 на простые множители, чтобы использовать данные из условия:

$1250 = 125 \cdot 10 = 5^3 \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 5^4$.

Теперь подставим это в логарифм и используем свойства логарифмов (логарифм произведения и логарифм степени):

$\log_2 1250 = \log_2 (2 \cdot 5^4) = \log_2 2 + \log_2 5^4 = 1 + 4 \log_2 5$.

По условию $\log_2 5 = a$. Подставим это значение в выражение:

$1 + 4 \log_2 5 = 1 + 4a$.

Теперь соберем все вместе:

$\log_4 1250 = \frac{\log_2 1250}{\log_2 4} = \frac{1 + 4a}{2}$.

Ответ: $\frac{1 + 4a}{2}$.