Номер 800, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

800. Известно, что $ \lg 2 \approx 0,301 $, $ \lg 5 \approx 0,699 $, $ \lg 3 \approx 0,477 $. Найти приближённое значение:

1) $ \log_5 2; $

2) $ \log_2 5; $

3) $ \log_3 2; $

4) $ \log_2 3; $

5) $ \log_2 \sqrt{5}; $

6) $ \log_5 0,25; $

7) $ \log_3 0,5; $

8) $ \log_3 0,2. $

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $log_b a = \frac{log_c a}{log_c b}$. В качестве нового основания `c` будем использовать 10, так как в условии даны значения десятичных логарифмов (lg). Таким образом, формула примет вид: $log_b a = \frac{lg a}{lg b}$.

1) log₅ 2
Применяем формулу перехода к основанию 10:
$log_5 2 = \frac{lg 2}{lg 5}$
Подставляем известные значения:
$log_5 2 \approx \frac{0.301}{0.699} \approx 0.4306...$
Округляя до тысячных, получаем 0,431.
Ответ: $log_5 2 \approx 0.431$

2) log₂ 5
Используем формулу перехода к основанию 10:
$log_2 5 = \frac{lg 5}{lg 2}$
Подставляем известные значения:
$log_2 5 \approx \frac{0.699}{0.301} \approx 2.3222...$
Заметим также, что $log_2 5 = \frac{1}{log_5 2} \approx \frac{1}{0.431} \approx 2.320...$ (расхождение из-за раннего округления). Точный расчет дает 2,322.
Ответ: $log_2 5 \approx 2.322$

3) log₃ 2
Используем формулу перехода к основанию 10:
$log_3 2 = \frac{lg 2}{lg 3}$
Подставляем известные значения:
$log_3 2 \approx \frac{0.301}{0.477} \approx 0.6309...$
Округляя до тысячных, получаем 0,631.
Ответ: $log_3 2 \approx 0.631$

4) log₂ 3
Используем формулу перехода к основанию 10:
$log_2 3 = \frac{lg 3}{lg 2}$
Подставляем известные значения:
$log_2 3 \approx \frac{0.477}{0.301} \approx 1.5847...$
Округляя до тысячных, получаем 1,585.
Ответ: $log_2 3 \approx 1.585$

5) log₂ √5
Сначала воспользуемся свойством логарифма степени: $log_a (b^p) = p \cdot log_a b$.
$log_2 \sqrt{5} = log_2 (5^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} log_2 5$
Из пункта 2 мы знаем, что $log_2 5 \approx 2.322$.
$log_2 \sqrt{5} \approx \frac{1}{2} \cdot 2.322 = 1.161$
Ответ: $log_2 \sqrt{5} \approx 1.161$

6) log₅ 0,25
Представим 0,25 в виде степени числа 2: $0.25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
$log_5 0.25 = log_5 (2^{-2}) = -2 \cdot log_5 2$
Из пункта 1 мы знаем, что $log_5 2 \approx 0.431$.
$log_5 0.25 \approx -2 \cdot 0.431 = -0.862$
(Более точный расчет: $-2 \cdot \frac{0.301}{0.699} \approx -0.8612... \approx -0.861$)
Ответ: $log_5 0.25 \approx -0.861$

7) log₃ 0,5
Представим 0,5 в виде степени числа 2: $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
$log_3 0.5 = log_3 (2^{-1}) = -1 \cdot log_3 2 = -log_3 2$
Из пункта 3 мы знаем, что $log_3 2 \approx 0.631$.
$log_3 0.5 \approx -0.631$
Ответ: $log_3 0.5 \approx -0.631$

8) log₃ 0,2
Представим 0,2 в виде дроби и используем свойство логарифма частного: $0.2 = \frac{2}{10}$.
$log_3 0.2 = log_3 (\frac{2}{10}) = \frac{lg(\frac{2}{10})}{lg 3} = \frac{lg 2 - lg 10}{lg 3}$
Так как $lg 10 = 1$, получаем:
$log_3 0.2 \approx \frac{0.301 - 1}{0.477} = \frac{-0.699}{0.477} \approx -1.4654...$
Округляя до тысячных, получаем -1,465.
(Альтернативный способ: $0.2 = \frac{1}{5}$, тогда $log_3 0.2 = log_3 (\frac{1}{5}) = -log_3 5 = -\frac{lg 5}{lg 3} \approx -\frac{0.699}{0.477} \approx -1.465$)
Ответ: $log_3 0.2 \approx -1.465$