Номер 802, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

802. Решить уравнение:

1) $\log_5 x = 2 \log_5 3 + 4 \log_{25} 2;$

2) $\log_2 x - 2 \log_{\frac{1}{2}} x = 9;$

3) $\log_3 x = 9 \log_{27} 8 - 3 \log_3 4;$

4) $\log_9 x^2 + \log_{\sqrt{3}} x = 3;$

5) $\log_2 x + \log_8 x = 8;$

6) $\log_4 x - \log_{16} x = \frac{1}{4}.$

1) Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$.
Преобразуем правую часть уравнения, приведя все логарифмы к одному основанию 5. Для этого используем свойства логарифмов: $n \log_a b = \log_a b^n$ и $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.
$2 \log_{5} 3 = \log_{5} 3^2 = \log_{5} 9$.
$4 \log_{25} 2 = 4 \log_{5^2} 2 = 4 \cdot \frac{1}{2} \log_5 2 = 2 \log_5 2 = \log_5 2^2 = \log_5 4$.
Теперь подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:
$\log_{5} x = \log_{5} 9 + \log_{5} 4$
Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_{5} x = \log_{5} (9 \cdot 4)$
$\log_{5} x = \log_{5} 36$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x = 36$.
Полученное значение $x = 36$ удовлетворяет ОДЗ ($36 > 0$).
Ответ: 36.

2) Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Приведем все логарифмы к основанию 2. Основание второго логарифма $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{2^{-1}} x = \frac{1}{-1} \log_2 x = -\log_2 x$.
Подставим преобразованное выражение в исходное уравнение:
$\log_2 x - 2(-\log_2 x) = 9$
$\log_2 x + 2\log_2 x = 9$
$3\log_2 x = 9$
$\log_2 x = 3$
По определению логарифма, $x = 2^3 = 8$.
Корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 > 0$).
Ответ: 8.

3) Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Приведем правую часть уравнения к логарифму с основанием 3.
Преобразуем первое слагаемое: $27 = 3^3$, поэтому $\log_{27} 8 = \log_{3^3} 8 = \frac{1}{3} \log_3 8$.
Тогда $9 \log_{27} 8 = 9 \cdot \frac{1}{3} \log_3 8 = 3 \log_3 8 = \log_3 8^3 = \log_3 512$.
Преобразуем второе слагаемое: $3 \log_3 4 = \log_3 4^3 = \log_3 64$.
Уравнение принимает вид: $\log_3 x = \log_3 512 - \log_3 64$.
Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$:
$\log_3 x = \log_3 \left(\frac{512}{64}\right) = \log_3 8$.
Следовательно, $x = 8$.
Корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 > 0$).
Ответ: 8.

4) Область допустимых значений (ОДЗ): из $\log_9 x^2$ следует $x^2 > 0 \implies x \ne 0$, а из $\log_{\sqrt{3}} x$ следует $x > 0$. Объединяя, получаем ОДЗ: $x > 0$.
Приведем все логарифмы к основанию 3. Заметим, что $9 = 3^2$ и $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
$\log_9 x^2 = \log_{3^2} x^2 = \frac{2}{2} \log_3 |x|$. Так как по ОДЗ $x > 0$, то $|x|=x$, поэтому $\log_9 x^2 = \log_3 x$.
$\log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_3 x = 2 \log_3 x$.
Подставим в уравнение:
$\log_3 x + 2 \log_3 x = 3$
$3 \log_3 x = 3$
$\log_3 x = 1$
$x = 3^1 = 3$.
Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0$).
Ответ: 3.

5) Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Приведем все логарифмы к основанию 2. Так как $8 = 2^3$, то $\log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3} \log_2 x$.
Подставим в уравнение:
$\log_2 x + \frac{1}{3} \log_2 x = 8$
Сложим коэффициенты при логарифме: $(1 + \frac{1}{3})\log_2 x = 8$
$\frac{4}{3} \log_2 x = 8$
$\log_2 x = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6$
$x = 2^6 = 64$.
Корень $x=64$ удовлетворяет ОДЗ ($64 > 0$).
Ответ: 64.

6) Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Приведем все логарифмы к основанию 4. Так как $16 = 4^2$, то $\log_{16} x = \log_{4^2} x = \frac{1}{2} \log_4 x$.
Подставим в уравнение:
$\log_4 x - \frac{1}{2} \log_4 x = \frac{1}{4}$
$(1 - \frac{1}{2})\log_4 x = \frac{1}{4}$
$\frac{1}{2} \log_4 x = \frac{1}{4}$
$\log_4 x = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$
$x = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.
Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 > 0$).
Ответ: 2.