Номер 788, страница 247 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (788-789).

788. 1) $\frac{\log_4 9}{2 \log_2 3};$

2) $\frac{\log_{\frac{1}{8}} 16}{-3 \log_{\frac{1}{8}} 2};$

3) $\frac{\log_{\frac{1}{36}} 7}{\log_{36} 49};$

4) $\frac{-3 \log_{\frac{1}{16}} 19}{\log_{0,25} 19}.$

1)

Для решения данного примера воспользуемся свойствами логарифмов.Преобразуем числитель дроби, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:$\log_4 9 = \log_{2^2} 3^2 = \frac{2}{2} \log_2 3 = \log_2 3$.Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:$\frac{\log_4 9}{2 \log_2 3} = \frac{\log_2 3}{2 \log_2 3}$.Сократим дробь на $\log_2 3$ (так как $\log_2 3 \neq 0$):$\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2)

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся свойствами логарифмов.Сначала преобразуем знаменатель, используя свойство $k \log_a b = \log_a b^k$:$-3 \log_{\frac{1}{8}} 2 = \log_{\frac{1}{8}} 2^{-3} = \log_{\frac{1}{8}} \frac{1}{8} = 1$.Теперь исходное выражение принимает вид:$\frac{\log_{\frac{1}{8}} 16}{1} = \log_{\frac{1}{8}} 16$.Вычислим значение этого логарифма. Пусть $x = \log_{\frac{1}{8}} 16$.По определению логарифма, $(\frac{1}{8})^x = 16$.Представим основание и аргумент в виде степеней числа 2:$(2^{-3})^x = 2^4$.$2^{-3x} = 2^4$.Приравняем показатели степеней:$-3x = 4$.$x = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $-\frac{4}{3}$.

3)

Для упрощения этого выражения приведем логарифмы к одному основанию, например, к 36.Преобразуем числитель, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:$\log_{\frac{1}{36}} 7 = \log_{36^{-1}} 7 = \frac{1}{-1} \log_{36} 7 = -\log_{36} 7$.Преобразуем знаменатель, используя свойство $\log_a b^m = m \log_a b$:$\log_{36} 49 = \log_{36} 7^2 = 2 \log_{36} 7$.Подставим преобразованные выражения в исходную дробь:$\frac{\log_{\frac{1}{36}} 7}{\log_{36} 49} = \frac{-\log_{36} 7}{2 \log_{36} 7}$.Сократим дробь на $\log_{36} 7$:$-\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

4)

Для вычисления значения данного выражения приведем логарифмы к одному основанию. Выберем основание 4, так как $0.25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}$ и $\frac{1}{16} = 4^{-2}$.Преобразуем числитель, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:$-3 \log_{\frac{1}{16}} 19 = -3 \log_{4^{-2}} 19 = -3 \cdot \left(\frac{1}{-2} \log_4 19\right) = \frac{3}{2} \log_4 19$.Теперь преобразуем знаменатель:$\log_{0.25} 19 = \log_{4^{-1}} 19 = \frac{1}{-1} \log_4 19 = -\log_4 19$.Подставим преобразованные выражения в исходную дробь:$\frac{-3 \log_{\frac{1}{16}} 19}{\log_{0.25} 19} = \frac{\frac{3}{2} \log_4 19}{-\log_4 19}$.Сократим дробь на $\log_4 19$:$\frac{\frac{3}{2}}{-1} = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$.