Страница 247 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

785. Найти x по данному его логарифму $ (a > 0, b > 0) $:

1) $\log_3 x = 4 \log_3 a + 7 \log_3 b$;

2) $\log_5 x = 2 \log_5 a - 3 \log_5 b$;

3) $\log_{\frac{1}{2}} x = \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} a - \frac{1}{5} \log_{\frac{1}{2}} b$;

4) $\log_{\frac{2}{3}} x = \frac{1}{4} \log_{\frac{2}{3}} a + \frac{4}{7} \log_{\frac{2}{3}} b$.

1) Дано уравнение $\log_3 x = 4 \log_3 a + 7 \log_3 b$. Для нахождения $x$ воспользуемся свойствами логарифмов.
Сначала применим свойство степени логарифма $n \log_c k = \log_c (k^n)$ к правой части уравнения:
$4 \log_3 a = \log_3(a^4)$
$7 \log_3 b = \log_3(b^7)$
Подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:
$\log_3 x = \log_3(a^4) + \log_3(b^7)$
Теперь применим свойство суммы логарифмов $\log_c k + \log_c m = \log_c (km)$:
$\log_3 x = \log_3(a^4 b^7)$
Так как основания логарифмов равны, то и их аргументы должны быть равны:
$x = a^4 b^7$
Ответ: $x = a^4 b^7$.

2) Дано уравнение $\log_5 x = 2 \log_5 a - 3 \log_5 b$.
Используем свойство степени логарифма $n \log_c k = \log_c (k^n)$:
$2 \log_5 a = \log_5(a^2)$
$3 \log_5 b = \log_5(b^3)$
Подставим в уравнение:
$\log_5 x = \log_5(a^2) - \log_5(b^3)$
Далее используем свойство разности логарифмов $\log_c k - \log_c m = \log_c (\frac{k}{m})$:
$\log_5 x = \log_5(\frac{a^2}{b^3})$
Приравниваем аргументы логарифмов:
$x = \frac{a^2}{b^3}$
Ответ: $x = \frac{a^2}{b^3}$.

3) Дано уравнение $\log_{\frac{1}{2}} x = \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} a - \frac{1}{5} \log_{\frac{1}{2}} b$.
Применим свойство степени логарифма к правой части:
$\frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} a = \log_{\frac{1}{2}}(a^{\frac{2}{3}})$
$\frac{1}{5} \log_{\frac{1}{2}} b = \log_{\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{5}})$
Подставим в уравнение:
$\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{\frac{1}{2}}(a^{\frac{2}{3}}) - \log_{\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{5}})$
Применим свойство разности логарифмов:
$\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{5}}})$
Приравниваем аргументы:
$x = \frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{5}}}$
Это выражение также можно записать с помощью корней: $x = \frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[5]{b}}$.
Ответ: $x = \frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{5}}}$.

4) Дано уравнение $\log_{\frac{2}{3}} x = \frac{1}{4} \log_{\frac{2}{3}} a + \frac{4}{7} \log_{\frac{2}{3}} b$.
Снова используем свойство степени логарифма:
$\frac{1}{4} \log_{\frac{2}{3}} a = \log_{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{4}})$
$\frac{4}{7} \log_{\frac{2}{3}} b = \log_{\frac{2}{3}}(b^{\frac{4}{7}})$
Подставим в уравнение:
$\log_{\frac{2}{3}} x = \log_{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{4}}) + \log_{\frac{2}{3}}(b^{\frac{4}{7}})$
Теперь используем свойство суммы логарифмов:
$\log_{\frac{2}{3}} x = \log_{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{4}{7}})$
Приравниваем аргументы логарифмов:
$x = a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{4}{7}}$
Это выражение также можно записать с помощью корней: $x = \sqrt[4]{a} \sqrt[7]{b^4}$.
Ответ: $x = a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{4}{7}}$.

786. Вычислить:

1) $36^{\log_6 5} + 10^{1 - \log_{10} 2} - 8^{\log_2 3};$

2) $\left(81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4} + 25^{\log_{125} 8}\right) \cdot 49^{\log_7 2};$

3) $16^{1 + \log_4 5} + 4^{\frac{1}{2}\log_2 3 + 3\log_8 5};$

4) $72 \cdot \left(49^{\frac{1}{2}\log_7 9 - \log_7 6} + 5^{-\log_{\sqrt{5}} 4}\right).$

1) $36^{\log_6 5} + 10^{1-\log_{10} 2} - 8^{\log_2 3}$

Для решения этого выражения, вычислим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства логарифмов и степеней.

Первое слагаемое: $36^{\log_6 5}$.
Представим основание 36 как $6^2$.
$36^{\log_6 5} = (6^2)^{\log_6 5} = 6^{2\log_6 5}$.
Используя свойство $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$, получим: $6^{\log_6 5^2} = 6^{\log_6 25}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем: $6^{\log_6 25} = 25$.

Второе слагаемое: $10^{1-\log_{10} 2}$.
Используя свойство $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, получим: $\frac{10^1}{10^{\log_{10} 2}}$.
В знаменателе используем основное логарифмическое тождество (десятичный логарифм имеет основание 10): $10^{\log_{10} 2} = 2$.
Таким образом, второе слагаемое равно: $\frac{10}{2} = 5$.

Третье слагаемое: $8^{\log_2 3}$.
Представим основание 8 как $2^3$.
$8^{\log_2 3} = (2^3)^{\log_2 3} = 2^{3\log_2 3} = 2^{\log_2 3^3} = 2^{\log_2 27}$.
По основному логарифмическому тождеству: $2^{\log_2 27} = 27$.

Теперь сложим и вычтем полученные значения: $25 + 5 - 27 = 30 - 27 = 3$.

Ответ: 3.

2) $\left(81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4} + 25^{\log_{125} 8}\right) \cdot 49^{\log_7 2}$

Сначала вычислим выражение в скобках.

Первое слагаемое в скобках: $81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4}$.
$81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4} = \frac{81^{\frac{1}{4}}}{81^{\frac{1}{2}\log_9 4}} = \frac{(3^4)^{\frac{1}{4}}}{(9^2)^{\frac{1}{2}\log_9 4}} = \frac{3}{9^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_9 4}} = \frac{3}{9^{\log_9 4}}$.
По основному логарифмическому тождеству: $\frac{3}{4}$.

Второе слагаемое в скобках: $25^{\log_{125} 8}$.
Преобразуем основания степени и логарифма к одному числу (5): $25=5^2$, $125=5^3$.
Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: $\log_{125} 8 = \log_{5^3} 8 = \frac{1}{3}\log_5 8$.
Тогда выражение примет вид: $(5^2)^{\frac{1}{3}\log_5 8} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}\log_5 8} = 5^{\frac{2}{3}\log_5 8} = 5^{\log_5 8^{\frac{2}{3}}}$.
Так как $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$, то $5^{\log_5 4} = 4$.

Сумма в скобках: $\frac{3}{4} + 4 = \frac{3}{4} + \frac{16}{4} = \frac{19}{4}$.

Теперь вычислим второй множитель: $49^{\log_7 2}$.
$49^{\log_7 2} = (7^2)^{\log_7 2} = 7^{2\log_7 2} = 7^{\log_7 2^2} = 7^{\log_7 4} = 4$.

Перемножим полученные результаты: $\frac{19}{4} \cdot 4 = 19$.

Ответ: 19.

3) $16^{1+\log_4 5} + 4^{\frac{1}{2}\log_2 3 + 3\log_8 5}$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $16^{1+\log_4 5}$.
$16^{1+\log_4 5} = 16^1 \cdot 16^{\log_4 5} = 16 \cdot (4^2)^{\log_4 5} = 16 \cdot 4^{2\log_4 5} = 16 \cdot 4^{\log_4 5^2} = 16 \cdot 4^{\log_4 25}$.
По основному логарифмическому тождеству: $16 \cdot 25 = 400$.

Второе слагаемое: $4^{\frac{1}{2}\log_2 3 + 3\log_8 5}$.
Упростим показатель степени, приведя логарифмы к основанию 2: $3\log_8 5 = 3\log_{2^3} 5 = 3 \cdot \frac{1}{3}\log_2 5 = \log_2 5$.
Показатель степени: $\frac{1}{2}\log_2 3 + \log_2 5 = \log_2 3^{\frac{1}{2}} + \log_2 5 = \log_2 \sqrt{3} + \log_2 5 = \log_2(5\sqrt{3})$.
Теперь вычислим значение второго слагаемого: $4^{\log_2(5\sqrt{3})} = (2^2)^{\log_2(5\sqrt{3})} = 2^{2\log_2(5\sqrt{3})} = 2^{\log_2((5\sqrt{3})^2)} = 2^{\log_2(25 \cdot 3)} = 2^{\log_2 75}$.
По основному логарифмическому тождеству: $75$.

Сложим полученные значения: $400 + 75 = 475$.

Ответ: 475.

4) $72 \cdot \left(49^{\frac{1}{2}\log_7 9 - \log_7 6} + 5^{-\log_{\sqrt{5}} 4}\right)$

Сначала вычислим выражение в скобках.

Первый член в скобках: $49^{\frac{1}{2}\log_7 9 - \log_7 6}$.
Упростим показатель степени: $\frac{1}{2}\log_7 9 - \log_7 6 = \log_7 9^{\frac{1}{2}} - \log_7 6 = \log_7 3 - \log_7 6 = \log_7\left(\frac{3}{6}\right) = \log_7\left(\frac{1}{2}\right)$.
Тогда выражение: $49^{\log_7(\frac{1}{2})} = (7^2)^{\log_7(\frac{1}{2})} = 7^{2\log_7(\frac{1}{2})} = 7^{\log_7((\frac{1}{2})^2)} = 7^{\log_7(\frac{1}{4})} = \frac{1}{4}$.

Второй член в скобках: $5^{-\log_{\sqrt{5}} 4}$.
Упростим логарифм в показателе: $\log_{\sqrt{5}} 4 = \log_{5^{1/2}} 4 = \frac{1}{1/2}\log_5 4 = 2\log_5 4$.
Тогда выражение: $5^{-2\log_5 4} = 5^{\log_5 4^{-2}} = 5^{\log_5(\frac{1}{16})} = \frac{1}{16}$.

Сумма в скобках: $\frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16}$.

Теперь умножим результат на 72: $72 \cdot \frac{5}{16} = \frac{72 \cdot 5}{16} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 5}{2 \cdot 8} = \frac{45}{2} = 22.5$.

Ответ: 22.5.

787. Выразить данный логарифм через логарифм по основанию 2:

1) $log_4 5$

2) $log_{\frac{1}{2}} 7$

3) $log_{\sqrt{2}} 13$

4) $log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 3$

Для того чтобы выразить данный логарифм через логарифм по другому основанию, используется формула перехода к новому основанию:

$log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$

В данном случае, нам нужно перейти к основанию $c=2$. Следовательно, мы будем использовать формулу в следующем виде:

$log_a b = \frac{log_2 b}{log_2 a}$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Выразить $log_4 5$ через логарифм по основанию 2.

Применим формулу перехода к основанию 2, где $a=4$ и $b=5$:

$log_4 5 = \frac{log_2 5}{log_2 4}$

Теперь упростим знаменатель. Поскольку $4 = 2^2$, то:

$log_2 4 = log_2(2^2) = 2$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$log_4 5 = \frac{log_2 5}{2} = \frac{1}{2}log_2 5$

Ответ: $ \frac{1}{2}log_2 5 $

2) Выразить $log_{\frac{1}{2}} 7$ через логарифм по основанию 2.

Применим формулу перехода к основанию 2, где $a=\frac{1}{2}$ и $b=7$:

$log_{\frac{1}{2}} 7 = \frac{log_2 7}{log_2 (\frac{1}{2})}$

Упростим знаменатель. Поскольку $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, то:

$log_2 (\frac{1}{2}) = log_2(2^{-1}) = -1$

Подставим значение в исходное выражение:

$log_{\frac{1}{2}} 7 = \frac{log_2 7}{-1} = -log_2 7$

Ответ: $ -log_2 7 $

3) Выразить $log_{\sqrt{2}} 13$ через логарифм по основанию 2.

Применим формулу перехода к основанию 2, где $a=\sqrt{2}$ и $b=13$:

$log_{\sqrt{2}} 13 = \frac{log_2 13}{log_2 (\sqrt{2})}$

Упростим знаменатель. Поскольку $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$, то:

$log_2 (\sqrt{2}) = log_2(2^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}$

Подставим значение в выражение:

$log_{\sqrt{2}} 13 = \frac{log_2 13}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot log_2 13$

Ответ: $ 2 log_2 13 $

4) Выразить $log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 3$ через логарифм по основанию 2.

Применим формулу перехода к основанию 2, где $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $b=3$:

$log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 3 = \frac{log_2 3}{log_2 (\frac{1}{\sqrt{2}})}$

Упростим знаменатель. Представим основание $\frac{1}{\sqrt{2}}$ в виде степени двойки: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} = 2^{-\frac{1}{2}}$. Тогда:

$log_2 (\frac{1}{\sqrt{2}}) = log_2(2^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2}$

Подставим значение в выражение:

$log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} 3 = \frac{log_2 3}{-\frac{1}{2}} = -2 \cdot log_2 3$

Ответ: $ -2 log_2 3 $

Вычислить (788-789).

788. 1) $\frac{\log_4 9}{2 \log_2 3};$

2) $\frac{\log_{\frac{1}{8}} 16}{-3 \log_{\frac{1}{8}} 2};$

3) $\frac{\log_{\frac{1}{36}} 7}{\log_{36} 49};$

4) $\frac{-3 \log_{\frac{1}{16}} 19}{\log_{0,25} 19}.$

1)

Для решения данного примера воспользуемся свойствами логарифмов.Преобразуем числитель дроби, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:$\log_4 9 = \log_{2^2} 3^2 = \frac{2}{2} \log_2 3 = \log_2 3$.Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:$\frac{\log_4 9}{2 \log_2 3} = \frac{\log_2 3}{2 \log_2 3}$.Сократим дробь на $\log_2 3$ (так как $\log_2 3 \neq 0$):$\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2)

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся свойствами логарифмов.Сначала преобразуем знаменатель, используя свойство $k \log_a b = \log_a b^k$:$-3 \log_{\frac{1}{8}} 2 = \log_{\frac{1}{8}} 2^{-3} = \log_{\frac{1}{8}} \frac{1}{8} = 1$.Теперь исходное выражение принимает вид:$\frac{\log_{\frac{1}{8}} 16}{1} = \log_{\frac{1}{8}} 16$.Вычислим значение этого логарифма. Пусть $x = \log_{\frac{1}{8}} 16$.По определению логарифма, $(\frac{1}{8})^x = 16$.Представим основание и аргумент в виде степеней числа 2:$(2^{-3})^x = 2^4$.$2^{-3x} = 2^4$.Приравняем показатели степеней:$-3x = 4$.$x = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $-\frac{4}{3}$.

3)

Для упрощения этого выражения приведем логарифмы к одному основанию, например, к 36.Преобразуем числитель, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:$\log_{\frac{1}{36}} 7 = \log_{36^{-1}} 7 = \frac{1}{-1} \log_{36} 7 = -\log_{36} 7$.Преобразуем знаменатель, используя свойство $\log_a b^m = m \log_a b$:$\log_{36} 49 = \log_{36} 7^2 = 2 \log_{36} 7$.Подставим преобразованные выражения в исходную дробь:$\frac{\log_{\frac{1}{36}} 7}{\log_{36} 49} = \frac{-\log_{36} 7}{2 \log_{36} 7}$.Сократим дробь на $\log_{36} 7$:$-\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

4)

Для вычисления значения данного выражения приведем логарифмы к одному основанию. Выберем основание 4, так как $0.25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}$ и $\frac{1}{16} = 4^{-2}$.Преобразуем числитель, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:$-3 \log_{\frac{1}{16}} 19 = -3 \log_{4^{-2}} 19 = -3 \cdot \left(\frac{1}{-2} \log_4 19\right) = \frac{3}{2} \log_4 19$.Теперь преобразуем знаменатель:$\log_{0.25} 19 = \log_{4^{-1}} 19 = \frac{1}{-1} \log_4 19 = -\log_4 19$.Подставим преобразованные выражения в исходную дробь:$\frac{-3 \log_{\frac{1}{16}} 19}{\log_{0.25} 19} = \frac{\frac{3}{2} \log_4 19}{-\log_4 19}$.Сократим дробь на $\log_4 19$:$\frac{\frac{3}{2}}{-1} = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$.

789. 1) $\log_{36} 2 - \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{6}} 3$

2) $2 \log_{25} 30 + \log_{0.2} 6$

1) $\log_{36} 2 - \frac{1}{2}\log_{\frac{1}{6}} 3$

Для решения данного выражения необходимо привести логарифмы к одному основанию. Заметим, что оба основания являются степенями числа 6: $36 = 6^2$ и $\frac{1}{6} = 6^{-1}$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

Преобразуем первый член выражения:
$\log_{36} 2 = \log_{6^2} 2 = \frac{1}{2} \log_6 2$.

Преобразуем второй член выражения:
$\log_{\frac{1}{6}} 3 = \log_{6^{-1}} 3 = \frac{1}{-1} \log_6 3 = -\log_6 3$.

Теперь подставим преобразованные части обратно в исходное выражение:
$\log_{36} 2 - \frac{1}{2}\log_{\frac{1}{6}} 3 = \frac{1}{2}\log_6 2 - \frac{1}{2}(-\log_6 3) = \frac{1}{2}\log_6 2 + \frac{1}{2}\log_6 3$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и воспользуемся свойством суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$:
$\frac{1}{2}(\log_6 2 + \log_6 3) = \frac{1}{2}\log_6(2 \cdot 3) = \frac{1}{2}\log_6 6$.

Так как $\log_6 6 = 1$, получаем:
$\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) $2\log_{25} 30 + \log_{0.2} 6$

Приведем логарифмы к общему основанию. Заметим, что $25 = 5^2$ и $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$. Общим основанием будет 5.

Сначала преобразуем первый член, используя свойство $c \cdot \log_{a^k} b = \frac{c}{k} \log_a b$:
$2\log_{25} 30 = 2\log_{5^2} 30 = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_5 30 = \log_5 30$.

Теперь преобразуем второй член, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_{0.2} 6 = \log_{5^{-1}} 6 = \frac{1}{-1} \log_5 6 = -\log_5 6$.

Подставим преобразованные части в исходное выражение:
$2\log_{25} 30 + \log_{0.2} 6 = \log_5 30 + (-\log_5 6) = \log_5 30 - \log_5 6$.

Воспользуемся свойством разности логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a(\frac{x}{y})$:
$\log_5 30 - \log_5 6 = \log_5(\frac{30}{6}) = \log_5 5$.

Так как $\log_5 5 = 1$, получаем окончательный результат.

Ответ: $1$.

790. Доказать, что при $a > 0, a \neq 1, x > 0$ и $k \neq 0$ справедлива формула $\log_{a^k} x^b = \log_a x$.

Для доказательства справедливости формулы $\log_{a^k} x^k = \log_a x$ при заданных условиях $a > 0$, $a \neq 1$, $x > 0$ и $k \neq 0$, преобразуем ее левую часть, используя свойства логарифмов.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_b c = \frac{\log_d c}{\log_d b}$. В качестве нового основания $d$ выберем $a$:

$\log_{a^k} x^k = \frac{\log_a (x^k)}{\log_a (a^k)}$

Далее применим свойство логарифма степени: $\log_b (c^p) = p \log_b c$. Применим это свойство для числителя и знаменателя полученной дроби:

$\frac{\log_a (x^k)}{\log_a (a^k)} = \frac{k \cdot \log_a x}{k \cdot \log_a a}$

По определению, логарифм числа по тому же основанию равен единице, то есть $\log_a a = 1$. Подставим это значение в знаменатель:

$\frac{k \cdot \log_a x}{k \cdot 1} = \frac{k \log_a x}{k}$

Так как по условию $k \neq 0$, мы можем сократить дробь на $k$:

$\frac{k \log_a x}{k} = \log_a x$

Таким образом, мы преобразовали левую часть исходного равенства в правую: $\log_{a^k} x^k = \log_a x$, что и требовалось доказать.

Ответ: Формула $\log_{a^k} x^k = \log_a x$ доказана.

791. Выразить данный логарифм через $log_3 a$ $(a > 0):$

1) $log_9 a^4$

2) $log_{\frac{1}{3}} a^{-2}$

3) $log_{\sqrt{3}} a$

4) $log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} a^2$

Для решения задачи воспользуемся свойствами логарифмов. Основная идея — привести основание каждого логарифма к виду степени числа 3, а затем использовать следующие свойства:

• Свойство логарифма степени: $log_b(c^k) = k \cdot log_b c$
• Свойство степени в основании логарифма: $log_{b^n} c = \frac{1}{n} \cdot log_b c$

Объединив эти два свойства, получаем общую формулу: $log_{b^n} c^m = \frac{m}{n} log_b c$.

1) Для выражения $log_9 a^4$ представим основание логарифма 9 в виде степени числа 3: $9 = 3^2$.

Теперь применим формулу, вынося показатели степеней из основания и аргумента логарифма:

$log_9 a^4 = log_{3^2} a^4 = \frac{4}{2} log_3 a = 2 log_3 a$

Ответ: $2 log_3 a$.

2) Для выражения $log_{\frac{1}{3}} a^{-2}$ представим основание логарифма $\frac{1}{3}$ в виде степени числа 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

Применяем ту же формулу:

$log_{\frac{1}{3}} a^{-2} = log_{3^{-1}} a^{-2} = \frac{-2}{-1} log_3 a = 2 log_3 a$

Ответ: $2 log_3 a$.

3) Для выражения $log_{\sqrt{3}} a$ представим основание логарифма $\sqrt{3}$ в виде степени числа 3: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$. Аргумент логарифма $a$ можно записать как $a^1$.

Применяем формулу:

$log_{\sqrt{3}} a = log_{3^{\frac{1}{2}}} a^1 = \frac{1}{\frac{1}{2}} log_3 a = 2 log_3 a$

Ответ: $2 log_3 a$.

4) Для выражения $log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} a^2$ представим основание логарифма $\frac{1}{\sqrt{3}}$ в виде степени числа 3: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} = 3^{-\frac{1}{2}}$.

Применяем формулу:

$log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} a^2 = log_{3^{-\frac{1}{2}}} a^2 = \frac{2}{-\frac{1}{2}} log_3 a = -4 log_3 a$

Ответ: $-4 log_3 a$.

792. Решить уравнение:

1) $\log_{x^2} 9 + \log_{\sqrt{x}} 4 = 2$;

2) $\log_{x^2} 16 - \log_{\sqrt{x}} 7 = 2$;

3) $2 \log_x 7 - \frac{1}{2} \log_{x^2} 16 + \frac{1}{4} \log_{\sqrt{x}} 64 = 2$;

4) $\frac{1}{2} \log_x 7 - \log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3 - \log_{x^2} 28 = 1$.

1) Исходное уравнение: $log_{x^2} 9 + log_{\sqrt{x}} 4 = 2$. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице. Из условий $x^2 > 0 \implies x \ne 0$; $x^2 \ne 1 \implies x \ne \pm 1$; $\sqrt{x} > 0 \implies x > 0$; $\sqrt{x} \ne 1 \implies x \ne 1$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$. Приведем логарифмы к основанию $x$, используя свойство $log_{a^k} b = \frac{1}{k} log_a b$. $log_{x^2} 9 = log_{x^2} 3^2 = \frac{2}{2} log_x 3 = log_x 3$. $log_{\sqrt{x}} 4 = log_{x^{1/2}} 4 = \frac{1}{1/2} log_x 4 = 2 log_x 4 = log_x 4^2 = log_x 16$. Подставим преобразованные логарифмы в исходное уравнение: $log_x 3 + log_x 16 = 2$. По свойству суммы логарифмов $log_a b + log_a c = log_a(bc)$: $log_x (3 \cdot 16) = 2$. $log_x 48 = 2$. По определению логарифма: $x^2 = 48$. $x = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$. (Второй корень $x = -4\sqrt{3}$ не входит в ОДЗ, так как $x>0$). Полученный корень $x = 4\sqrt{3}$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $4\sqrt{3}$.

2) Исходное уравнение: $log_{x^2} 16 - log_{\sqrt{x}} 7 = 2$. ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$. Приведем логарифмы к основанию $x$: $log_{x^2} 16 = log_{x^2} 4^2 = \frac{2}{2} log_x 4 = log_x 4$. $log_{\sqrt{x}} 7 = log_{x^{1/2}} 7 = \frac{1}{1/2} log_x 7 = 2 log_x 7 = log_x 7^2 = log_x 49$. Подставим в уравнение: $log_x 4 - log_x 49 = 2$. По свойству разности логарифмов $log_a b - log_a c = log_a(b/c)$: $log_x \frac{4}{49} = 2$. По определению логарифма: $x^2 = \frac{4}{49}$. $x = \sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{2}{7}$. (Второй корень $x = -2/7$ не удовлетворяет ОДЗ). Корень $x = 2/7$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $\frac{2}{7}$.

3) Исходное уравнение: $2 log_x 7 - \frac{1}{2} log_{x^2} 16 + \frac{1}{4} log_{\sqrt{x}} 64 = 2$. ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$. Преобразуем каждый член уравнения к логарифму с основанием $x$: $2 log_x 7 = log_x 7^2 = log_x 49$. $\frac{1}{2} log_{x^2} 16 = \frac{1}{2} log_{x^2} 4^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} log_x 4 = \frac{1}{2} log_x 4 = log_x 4^{1/2} = log_x 2$. $\frac{1}{4} log_{\sqrt{x}} 64 = \frac{1}{4} log_{x^{1/2}} 64 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1/2} log_x 64 = \frac{1}{4} \cdot 2 log_x 64 = \frac{1}{2} log_x 64 = log_x 64^{1/2} = log_x 8$. Подставим в уравнение: $log_x 49 - log_x 2 + log_x 8 = 2$. Используя свойства логарифмов, объединим члены в левой части: $log_x \frac{49 \cdot 8}{2} = 2$. $log_x (49 \cdot 4) = 2$. $log_x 196 = 2$. По определению логарифма: $x^2 = 196$. $x = 14$. (Второй корень $x = -14$ не удовлетворяет ОДЗ). Корень $x = 14$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $14$.

4) Исходное уравнение: $\frac{1}{2} log_x 7 - log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3 - log_{x^2} 28 = 1$. ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$. Приведем все логарифмы к основанию $x$: $\frac{1}{2} log_x 7 = log_x 7^{1/2} = log_x \sqrt{7}$. $log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3 = log_{x^{-1/2}} 3 = \frac{1}{-1/2} log_x 3 = -2 log_x 3 = log_x 3^{-2} = log_x \frac{1}{9}$. $log_{x^2} 28 = \frac{1}{2} log_x 28 = log_x 28^{1/2} = log_x \sqrt{28} = log_x (2\sqrt{7})$. Подставим в уравнение: $log_x \sqrt{7} - log_x \frac{1}{9} - log_x (2\sqrt{7}) = 1$. Объединим логарифмы: $log_x \frac{\sqrt{7}}{\frac{1}{9} \cdot 2\sqrt{7}} = 1$. $log_x \frac{\sqrt{7}}{\frac{2\sqrt{7}}{9}} = 1$. $log_x (\sqrt{7} \cdot \frac{9}{2\sqrt{7}}) = 1$. $log_x \frac{9}{2} = 1$. По определению логарифма: $x^1 = \frac{9}{2}$. $x = 4.5$. Корень $x = 4.5$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $4.5$.

793. Доказать, что при $a > 0$, $a \ne 1$ и любых $x_1 \ne 0$ и $x_2 \ne 0$ справедливы формулы:

1) $\log_a |x_1 \cdot x_2| = \log_a |x_1| + \log_a |x_2|$;

2) $\log_a |\frac{x_1}{x_2}| = \log_a |x_1| - \log_a |x_2|$.

1) Докажем справедливость формулы $\log_a |x_1 \cdot x_2| = \log_a |x_1| + \log_a |x_2|$.

Согласно условиям задачи, основание логарифма $a > 0$ и $a \neq 1$. Аргументы $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$. Это гарантирует, что выражения под знаком логарифма $|x_1|$, $|x_2|$ и $|x_1 \cdot x_2|$ являются строго положительными числами, а значит, все логарифмы в формуле определены.

Рассмотрим левую часть равенства: $\log_a |x_1 \cdot x_2|$.

Воспользуемся свойством модуля произведения: для любых чисел $x_1$ и $x_2$ справедливо равенство $|x_1 \cdot x_2| = |x_1| \cdot |x_2|$.

Применив это свойство, получим: $\log_a |x_1 \cdot x_2| = \log_a (|x_1| \cdot |x_2|)$.

Обозначим $y_1 = |x_1|$ и $y_2 = |x_2|$. Так как $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$, то $y_1 > 0$ и $y_2 > 0$.

Теперь выражение принимает вид $\log_a(y_1 \cdot y_2)$. Для положительных чисел $y_1$ и $y_2$ справедлива формула логарифма произведения: $\log_a(y_1 \cdot y_2) = \log_a y_1 + \log_a y_2$.

Выполнив обратную замену $y_1$ на $|x_1|$ и $y_2$ на $|x_2|$, получаем правую часть исходной формулы:

$\log_a |x_1| + \log_a |x_2|$.

Таким образом, мы доказали, что $\log_a |x_1 \cdot x_2| = \log_a |x_1| + \log_a |x_2|$.

Ответ: Формула доказана.

2) Докажем справедливость формулы $\log_a \left|\frac{x_1}{x_2}\right| = \log_a |x_1| - \log_a |x_2|$.

Как и в предыдущем пункте, все логарифмы в выражении определены, так как $a > 0$, $a \neq 1$, $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$. Следовательно, аргументы логарифмов $\left|\frac{x_1}{x_2}\right|$, $|x_1|$ и $|x_2|$ строго положительны.

Рассмотрим левую часть равенства: $\log_a \left|\frac{x_1}{x_2}\right|$.

Используем свойство модуля частного: для любых чисел $x_1$ и $x_2$ (где $x_2 \neq 0$) справедливо равенство $\left|\frac{x_1}{x_2}\right| = \frac{|x_1|}{|x_2|}$.

Применяя это свойство, получаем: $\log_a \left|\frac{x_1}{x_2}\right| = \log_a \left(\frac{|x_1|}{|x_2|}\right)$.

Обозначим $y_1 = |x_1|$ и $y_2 = |x_2|$. Поскольку $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$, то $y_1 > 0$ и $y_2 > 0$.

Выражение принимает вид $\log_a\left(\frac{y_1}{y_2}\right)$. Для положительных чисел $y_1$ и $y_2$ справедлива формула логарифма частного: $\log_a\left(\frac{y_1}{y_2}\right) = \log_a y_1 - \log_a y_2$.

Выполнив обратную замену, получаем правую часть исходной формулы:

$\log_a |x_1| - \log_a |x_2|$.

Таким образом, мы доказали, что $\log_a \left|\frac{x_1}{x_2}\right| = \log_a |x_1| - \log_a |x_2|$.

Ответ: Формула доказана.

794. Выразить через $a$ и $b$:

1) $\log_{\sqrt{3}} 50$, если $\log_3 15 = a$, $\log_3 10 = b$;

2) $\log_4 1250$, если $\log_2 5 = a$.

1)

Дано: $\log_3 15 = a$, $\log_3 10 = b$. Нужно выразить $\log_{\sqrt{3}} 50$ через $a$ и $b$.

Для начала приведем все логарифмы к одному основанию. Удобнее всего использовать основание 3, так как оно присутствует в данных нам выражениях. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x}$.

Применим эту формулу к выражению $\log_{\sqrt{3}} 50$, выбрав в качестве нового основания $z=3$:

$\log_{\sqrt{3}} 50 = \frac{\log_3 50}{\log_3 \sqrt{3}}$

Теперь упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Знаменатель: $\log_3 \sqrt{3} = \log_3 3^{1/2} = \frac{1}{2} \log_3 3 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Числитель: $\log_3 50$. Нам нужно выразить его через $a$ и $b$. Для этого преобразуем данные нам выражения:

$a = \log_3 15 = \log_3 (3 \cdot 5) = \log_3 3 + \log_3 5 = 1 + \log_3 5$.

Отсюда можем выразить $\log_3 5$:

$\log_3 5 = a - 1$.

Теперь преобразуем $\log_3 50$, используя свойство логарифма произведения и известные нам значения:

$\log_3 50 = \log_3 (5 \cdot 10) = \log_3 5 + \log_3 10$.

Подставим известные нам выражения: $\log_3 5 = a - 1$ и $\log_3 10 = b$.

$\log_3 50 = (a - 1) + b = a + b - 1$.

Теперь вернемся к исходной дроби и подставим найденные значения числителя и знаменателя:

$\log_{\sqrt{3}} 50 = \frac{\log_3 50}{\log_3 \sqrt{3}} = \frac{a + b - 1}{1/2} = 2(a + b - 1)$.

Ответ: $2(a + b - 1)$.

2)

Дано: $\log_2 5 = a$. Нужно выразить $\log_4 1250$ через $a$.

Приведем логарифм $\log_4 1250$ к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x}$.

$\log_4 1250 = \frac{\log_2 1250}{\log_2 4}$

Упростим знаменатель:

$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2 \log_2 2 = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь преобразуем числитель. Для этого разложим число 1250 на простые множители, чтобы использовать данные из условия:

$1250 = 125 \cdot 10 = 5^3 \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 5^4$.

Теперь подставим это в логарифм и используем свойства логарифмов (логарифм произведения и логарифм степени):

$\log_2 1250 = \log_2 (2 \cdot 5^4) = \log_2 2 + \log_2 5^4 = 1 + 4 \log_2 5$.

По условию $\log_2 5 = a$. Подставим это значение в выражение:

$1 + 4 \log_2 5 = 1 + 4a$.

Теперь соберем все вместе:

$\log_4 1250 = \frac{\log_2 1250}{\log_2 4} = \frac{1 + 4a}{2}$.

Ответ: $\frac{1 + 4a}{2}$.