Страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (777–780).

777. 1) $ \log_{10} 5 + \log_{10} 2; $

2) $ \log_{10} 8 + \log_{10} 125; $

3) $ \log_{12} 2 + \log_{12} 72; $

4) $ \log_3 6 + \log_3 \frac{3}{2}. $

1) Для решения данного примера воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $.
Применим это свойство к нашему выражению:
$ \log_{10} 5 + \log_{10} 2 = \log_{10} (5 \cdot 2) = \log_{10} 10 $.
Логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен единице, так как $ 10^1 = 10 $.
Следовательно, $ \log_{10} 10 = 1 $.
Ответ: 1

2) Используем то же свойство суммы логарифмов, так как основания логарифмов одинаковы (равны 10).
$ \log_{10} 8 + \log_{10} 125 = \log_{10} (8 \cdot 125) $.
Вычислим произведение в скобках: $ 8 \cdot 125 = 1000 $.
Получаем выражение: $ \log_{10} 1000 $.
Так как $ 1000 = 10^3 $, то по определению логарифма $ \log_{10} 1000 = \log_{10} (10^3) = 3 $.
Ответ: 3

3) Аналогично предыдущим примерам, применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием (равным 12):
$ \log_{12} 2 + \log_{12} 72 = \log_{12} (2 \cdot 72) $.
Вычислим произведение: $ 2 \cdot 72 = 144 $.
Получаем: $ \log_{12} 144 $.
Так как $ 144 = 12^2 $, то $ \log_{12} 144 = \log_{12} (12^2) = 2 $.
Ответ: 2

4) В этом примере также применяется свойство суммы логарифмов, поскольку основания одинаковы (равны 3):
$ \log_{3} 6 + \log_{3} \frac{3}{2} = \log_{3} (6 \cdot \frac{3}{2}) $.
Вычислим произведение: $ 6 \cdot \frac{3}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9 $.
Получаем: $ \log_{3} 9 $.
Так как $ 9 = 3^2 $, то $ \log_{3} 9 = \log_{3} (3^2) = 2 $.
Ответ: 2

778. 1) $\log_2 15 - \log_2 \frac{15}{16}$;

2) $\log_5 75 - \log_5 3$;

3) $\log_{\frac{1}{3}} 54 - \log_{\frac{1}{3}} 2$;

4) $\log_8 \frac{1}{16} - \log_8 32$.

1) Для решения этого примера воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $.
Применим это правило к выражению $ \log_2 15 - \log_2 \frac{15}{16} $:
$ \log_2 15 - \log_2 \frac{15}{16} = \log_2 \left(15 : \frac{15}{16}\right) = \log_2 \left(15 \cdot \frac{16}{15}\right) = \log_2 16 $.
Теперь необходимо вычислить $ \log_2 16 $. Логарифм $ \log_a b $ - это степень, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. В нашем случае нужно найти такую степень $x$, что $ 2^x = 16 $.
Поскольку $ 2^4 = 16 $, то $ \log_2 16 = 4 $.
Ответ: 4

2) Аналогично первому примеру, используем свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $ для выражения $ \log_5 75 - \log_5 3 $:
$ \log_5 75 - \log_5 3 = \log_5 \left(\frac{75}{3}\right) = \log_5 25 $.
Далее, вычислим $ \log_5 25 $. Найдём степень $x$, для которой выполняется равенство $ 5^x = 25 $.
Так как $ 5^2 = 25 $, то $ \log_5 25 = 2 $.
Ответ: 2

3) Снова применим свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $ к выражению $ \log_{\frac{1}{3}} 54 - \log_{\frac{1}{3}} 2 $:
$ \log_{\frac{1}{3}} 54 - \log_{\frac{1}{3}} 2 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{54}{2}\right) = \log_{\frac{1}{3}} 27 $.
Теперь вычислим $ \log_{\frac{1}{3}} 27 $. Обозначим искомое значение за $x$: $ \log_{\frac{1}{3}} 27 = x $. По определению логарифма, это равносильно уравнению $ \left(\frac{1}{3}\right)^x = 27 $.
Представим обе части уравнения с основанием 3. Мы знаем, что $ \frac{1}{3} = 3^{-1} $ и $ 27 = 3^3 $.
Подставим эти значения в уравнение: $ (3^{-1})^x = 3^3 $, что можно записать как $ 3^{-x} = 3^3 $.
Приравнивая показатели степени, получаем $ -x = 3 $, откуда $ x = -3 $.
Следовательно, $ \log_{\frac{1}{3}} 27 = -3 $.
Ответ: -3

4) Применим свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $ к выражению $ \log_8 \frac{1}{16} - \log_8 32 $:
$ \log_8 \frac{1}{16} - \log_8 32 = \log_8 \left(\frac{1}{16} : 32\right) = \log_8 \left(\frac{1}{16 \cdot 32}\right) = \log_8 \frac{1}{512} $.
Для вычисления $ \log_8 \frac{1}{512} $ найдём такое число $x$, что $ 8^x = \frac{1}{512} $.
Так как $ 8^3 = 512 $, то $ \frac{1}{512} = \frac{1}{8^3} = 8^{-3} $.
Наше уравнение принимает вид $ 8^x = 8^{-3} $, из чего следует, что $ x = -3 $.
Таким образом, $ \log_8 \frac{1}{512} = -3 $.
Ответ: -3

779. 1) $\log_{13} \sqrt[5]{169}$;

2) $\log_{11} \sqrt[3]{121}$;

3) $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{243}$;

4) $\log_2 \frac{1}{\sqrt[6]{128}}$.

1) Для решения выражения $\log_{13} \sqrt[5]{169}$ необходимо привести аргумент логарифма к степени с основанием 13.
Мы знаем, что $169$ это квадрат числа $13$, то есть $169 = 13^2$.
Корень пятой степени из числа можно представить как это число в степени $\frac{1}{5}$.
Следовательно, $\sqrt[5]{169} = \sqrt[5]{13^2} = (13^2)^{\frac{1}{5}} = 13^{2 \cdot \frac{1}{5}} = 13^{\frac{2}{5}}$.
Теперь подставим это в наш логарифм:
$\log_{13} \sqrt[5]{169} = \log_{13} (13^{\frac{2}{5}})$.
Используя свойство логарифма $\log_a(a^x) = x$, получаем:
$\log_{13} (13^{\frac{2}{5}}) = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

2) Для решения выражения $\log_{11} \sqrt[3]{121}$ необходимо привести аргумент логарифма к степени с основанием 11.
Известно, что $121 = 11^2$.
Кубический корень можно представить в виде степени $\frac{1}{3}$.
Таким образом, $\sqrt[3]{121} = \sqrt[3]{11^2} = (11^2)^{\frac{1}{3}} = 11^{2 \cdot \frac{1}{3}} = 11^{\frac{2}{3}}$.
Подставляем полученное выражение обратно в логарифм:
$\log_{11} \sqrt[3]{121} = \log_{11} (11^{\frac{2}{3}})$.
Применяем свойство логарифма $\log_a(a^x) = x$:
$\log_{11} (11^{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

3) Для вычисления $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{243}$ приведем основание и аргумент логарифма к степеням одного числа, например, 3.
Основание логарифма: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.
Для аргумента: $243 = 3^5$. Тогда корень четвертой степени $\sqrt[4]{243} = \sqrt[4]{3^5} = 3^{\frac{5}{4}}$.
Теперь исходное выражение можно переписать так:
$\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{243} = \log_{3^{-1}} (3^{\frac{5}{4}})$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k}(b^m) = \frac{m}{k} \log_a b$. В нашем случае $a=3, b=3$, поэтому $\log_a b = \log_3 3 = 1$.
Получаем: $\log_{3^{-1}} (3^{\frac{5}{4}}) = \frac{5/4}{-1} \log_3 3 = -\frac{5}{4} \cdot 1 = -\frac{5}{4}$.
Ответ: $-\frac{5}{4}$.

4) Для нахождения значения $\log_2 \frac{1}{\sqrt[6]{128}}$ представим аргумент логарифма как степень с основанием 2.
Число 128 является седьмой степенью числа 2: $128 = 2^7$.
Тогда корень шестой степени $\sqrt[6]{128} = \sqrt[6]{2^7} = 2^{\frac{7}{6}}$.
Теперь преобразуем всю дробь, используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$\frac{1}{\sqrt[6]{128}} = \frac{1}{2^{\frac{7}{6}}} = 2^{-\frac{7}{6}}$.
Подставляем это в логарифм:
$\log_2 \frac{1}{\sqrt[6]{128}} = \log_2 (2^{-\frac{7}{6}})$.
Применяем свойство $\log_a(a^x) = x$:
$\log_2 (2^{-\frac{7}{6}}) = -\frac{7}{6}$.
Ответ: $-\frac{7}{6}$.

780. 1) $\log_8 12 - \log_8 15 + \log_8 20;$

2) $\log_9 15 + \log_9 18 - \log_9 10;$

3) $\frac{1}{2} \log_7 36 - \log_7 14 - 3 \log_7 \sqrt[3]{21};$

4) $2 \log_{\frac{1}{3}} 6 - \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 400 + 3 \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{45}.$

1) Для решения используем свойства логарифмов: сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов, а разность логарифмов равна логарифму частного их аргументов. Формулы: $log_a b + log_a c = log_a(b \cdot c)$ и $log_a b - log_a c = log_a(\frac{b}{c})$.
Применим эти свойства к выражению: $log_8 12 - log_8 15 + log_8 20 = log_8(\frac{12}{15}) + log_8 20 = log_8(\frac{12 \cdot 20}{15})$.
Упростим выражение под знаком логарифма: $\frac{12 \cdot 20}{15} = \frac{12 \cdot 4 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{12 \cdot 4}{3} = 4 \cdot 4 = 16$.
Таким образом, мы получили выражение $log_8 16$.
Для вычисления значения $log_8 16$, воспользуемся свойством логарифма $log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} log_a b$. Представим основание 8 и число 16 в виде степеней числа 2: $8 = 2^3$ и $16 = 2^4$. $log_8 16 = log_{2^3} 2^4 = \frac{4}{3} log_2 2 = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

2) Аналогично первому пункту, применяем свойства сложения и вычитания логарифмов с одинаковым основанием: $log_9 15 + log_9 18 - log_9 10 = log_9(15 \cdot 18) - log_9 10 = log_9(\frac{15 \cdot 18}{10})$.
Упростим дробь: $\frac{15 \cdot 18}{10} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 18}{2 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 18}{2} = 3 \cdot 9 = 27$.
Получили выражение $log_9 27$.
Для вычисления представим 9 и 27 как степени числа 3: $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$. $log_9 27 = log_{3^2} 3^3 = \frac{3}{2} log_3 3 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

3) Для решения используем свойство степени логарифма $n \cdot log_a b = log_a(b^n)$, а также представим корень в виде степени: $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$.
Преобразуем каждый член выражения: $\frac{1}{2} log_7 36 = log_7(36^{\frac{1}{2}}) = log_7(\sqrt{36}) = log_7 6$.
$3 log_7 \sqrt[3]{21} = 3 log_7(21^{\frac{1}{3}}) = log_7((21^{\frac{1}{3}})^3) = log_7 21$.
Подставим преобразованные значения в исходное выражение: $log_7 6 - log_7 14 - log_7 21$.
Теперь применяем свойство разности логарифмов: $log_7(\frac{6}{14}) - log_7 21 = log_7(\frac{6}{14 \cdot 21})$.
Упростим выражение под логарифмом: $\frac{6}{14 \cdot 21} = \frac{2 \cdot 3}{(2 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 7)} = \frac{1}{7 \cdot 7} = \frac{1}{49}$.
Получаем $log_7(\frac{1}{49})$.
Так как $\frac{1}{49} = 49^{-1} = (7^2)^{-1} = 7^{-2}$, то: $log_7(7^{-2}) = -2 \cdot log_7 7 = -2 \cdot 1 = -2$.
Ответ: -2.

4) Используем те же свойства логарифмов, что и в предыдущем задании.
Преобразуем каждый член выражения: $2 log_{\frac{1}{3}} 6 = log_{\frac{1}{3}}(6^2) = log_{\frac{1}{3}} 36$.
$\frac{1}{2} log_{\frac{1}{3}} 400 = log_{\frac{1}{3}}(400^{\frac{1}{2}}) = log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{400}) = log_{\frac{1}{3}} 20$.
$3 log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{45} = 3 log_{\frac{1}{3}}(45^{\frac{1}{3}}) = log_{\frac{1}{3}}((45^{\frac{1}{3}})^3) = log_{\frac{1}{3}} 45$.
Подставим полученные выражения в исходное: $log_{\frac{1}{3}} 36 - log_{\frac{1}{3}} 20 + log_{\frac{1}{3}} 45$.
Применим свойства сложения и вычитания логарифмов: $log_{\frac{1}{3}}(\frac{36}{20}) + log_{\frac{1}{3}} 45 = log_{\frac{1}{3}}(\frac{36 \cdot 45}{20})$.
Упростим выражение под логарифмом: $\frac{36 \cdot 45}{20} = \frac{36 \cdot 9 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{36 \cdot 9}{4} = 9 \cdot 9 = 81$.
Получаем $log_{\frac{1}{3}} 81$.
Чтобы найти значение, решим уравнение $(\frac{1}{3})^x = 81$. Представим обе части равенства как степени числа 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $81 = 3^4$. $(3^{-1})^x = 3^4 \implies 3^{-x} = 3^4$.
Отсюда $-x=4$, следовательно $x=-4$.
Ответ: -4.

781. Прологарифмировать по основанию 3 выражение, в котором $a > 0$ и $b > 0$:

1) $27\sqrt{a^2b}$

2) $\frac{\sqrt[3]{a}}{9b^2}$

3) $\frac{81\sqrt{a^3}}{\sqrt[3]{b^2}}$

4) $\frac{\sqrt[4]{ab^2}}{\sqrt[3]{a^5b}}$

1) Чтобы прологарифмировать выражение $27\sqrt{a^2b}$ по основанию 3, применим основные свойства логарифмов: логарифм произведения равен сумме логарифмов $\log_c(xy) = \log_c(x) + \log_c(y)$, а логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания $\log_c(x^k) = k \log_c(x)$.

$\log_3(27\sqrt{a^2b}) = \log_3(27) + \log_3(\sqrt{a^2b})$.

Вычислим каждое слагаемое отдельно. Так как $27 = 3^3$, то $\log_3(27) = 3$.

Представим корень в виде степени и применим свойства логарифма:

$\log_3(\sqrt{a^2b}) = \log_3((a^2b)^{1/2}) = \frac{1}{2}\log_3(a^2b) = \frac{1}{2}(\log_3(a^2) + \log_3(b))$.

Поскольку $a > 0$, то $\log_3(a^2) = 2\log_3(a)$.

Тогда $\frac{1}{2}(2\log_3(a) + \log_3(b)) = \log_3(a) + \frac{1}{2}\log_3(b)$.

Собрав все вместе, получаем: $3 + \log_3(a) + \frac{1}{2}\log_3(b)$.

Ответ: $3 + \log_3(a) + \frac{1}{2}\log_3(b)$.

2) Для логарифмирования выражения $\frac{\sqrt[3]{a}}{9b^2}$ по основанию 3, используем свойство логарифма частного $\log_c(\frac{x}{y}) = \log_c(x) - \log_c(y)$.

$\log_3\left(\frac{\sqrt[3]{a}}{9b^2}\right) = \log_3(\sqrt[3]{a}) - \log_3(9b^2)$.

Преобразуем каждый член по отдельности.

$\log_3(\sqrt[3]{a}) = \log_3(a^{1/3}) = \frac{1}{3}\log_3(a)$.

$\log_3(9b^2) = \log_3(9) + \log_3(b^2) = 2 + 2\log_3(b)$, так как $9 = 3^2$.

Подставив полученные выражения в исходную формулу, получаем:

$\frac{1}{3}\log_3(a) - (2 + 2\log_3(b)) = \frac{1}{3}\log_3(a) - 2 - 2\log_3(b)$.

Ответ: $\frac{1}{3}\log_3(a) - 2 - 2\log_3(b)$.

3) Прологарифмируем выражение $\frac{81\sqrt{a^3}}{\sqrt[3]{b^2}}$ по основанию 3.

Применяем свойство логарифма частного:

$\log_3\left(\frac{81\sqrt{a^3}}{\sqrt[3]{b^2}}\right) = \log_3(81\sqrt{a^3}) - \log_3(\sqrt[3]{b^2})$.

Разложим первое слагаемое, используя свойство логарифма произведения:

$\log_3(81\sqrt{a^3}) = \log_3(81) + \log_3(\sqrt{a^3})$.

Так как $81 = 3^4$, то $\log_3(81) = 4$.

$\log_3(\sqrt{a^3}) = \log_3(a^{3/2}) = \frac{3}{2}\log_3(a)$.

Следовательно, первое слагаемое равно $4 + \frac{3}{2}\log_3(a)$.

Теперь преобразуем вычитаемое:

$\log_3(\sqrt[3]{b^2}) = \log_3(b^{2/3}) = \frac{2}{3}\log_3(b)$.

Объединим результаты:

$4 + \frac{3}{2}\log_3(a) - \frac{2}{3}\log_3(b)$.

Ответ: $4 + \frac{3}{2}\log_3(a) - \frac{2}{3}\log_3(b)$.

4) Прологарифмируем выражение $\frac{\sqrt[4]{ab^2}}{\sqrt[3]{a^5b}}$ по основанию 3.

Сначала применяем свойство логарифма частного:

$\log_3\left(\frac{\sqrt[4]{ab^2}}{\sqrt[3]{a^5b}}\right) = \log_3(\sqrt[4]{ab^2}) - \log_3(\sqrt[3]{a^5b})$.

Преобразуем логарифм числителя:

$\log_3(\sqrt[4]{ab^2}) = \log_3((ab^2)^{1/4}) = \frac{1}{4}\log_3(ab^2) = \frac{1}{4}(\log_3(a) + \log_3(b^2)) = \frac{1}{4}(\log_3(a) + 2\log_3(b)) = \frac{1}{4}\log_3(a) + \frac{1}{2}\log_3(b)$.

Преобразуем логарифм знаменателя:

$\log_3(\sqrt[3]{a^5b}) = \log_3((a^5b)^{1/3}) = \frac{1}{3}\log_3(a^5b) = \frac{1}{3}(\log_3(a^5) + \log_3(b)) = \frac{1}{3}(5\log_3(a) + \log_3(b)) = \frac{5}{3}\log_3(a) + \frac{1}{3}\log_3(b)$.

Теперь вычтем из логарифма числителя логарифм знаменателя:

$\left(\frac{1}{4}\log_3(a) + \frac{1}{2}\log_3(b)\right) - \left(\frac{5}{3}\log_3(a) + \frac{1}{3}\log_3(b)\right) = \frac{1}{4}\log_3(a) + \frac{1}{2}\log_3(b) - \frac{5}{3}\log_3(a) - \frac{1}{3}\log_3(b)$.

Сгруппируем слагаемые с $\log_3(a)$ и $\log_3(b)$:

$\left(\frac{1}{4} - \frac{5}{3}\right)\log_3(a) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)\log_3(b)$.

Вычислим коэффициенты:

$\frac{1}{4} - \frac{5}{3} = \frac{3-20}{12} = -\frac{17}{12}$.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$.

Подставим коэффициенты в выражение:

$-\frac{17}{12}\log_3(a) + \frac{1}{6}\log_3(b)$.

Ответ: $-\frac{17}{12}\log_3(a) + \frac{1}{6}\log_3(b)$.

782. Вычислить $log_a x$, если $log_a b = 3$, $log_a c = -2$ и:

1) $x = a^3 b^2 \sqrt{c};$

2) $x = \frac{a \sqrt[3]{b}}{c^3}.$

1)

Для вычисления $ \log_a x $, где $ x = a^3 b^2 \sqrt{c} $, необходимо найти логарифм данного выражения по основанию $ a $.

$ \log_a x = \log_a (a^3 b^2 \sqrt{c}) $

Используем свойство логарифма произведения, согласно которому логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей: $ \log_k (MN) = \log_k M + \log_k N $.

$ \log_a (a^3 b^2 \sqrt{c}) = \log_a(a^3) + \log_a(b^2) + \log_a(\sqrt{c}) $

Теперь используем свойство логарифма степени $ \log_k (M^p) = p \cdot \log_k M $. Также учтем, что $ \sqrt{c} = c^{1/2} $.

$ 3\log_a a + 2\log_a b + \frac{1}{2}\log_a c $

Подставим в полученное выражение заданные значения $ \log_a b = 3 $, $ \log_a c = -2 $, а также известное тождество $ \log_a a = 1 $:

$ 3 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot (-2) = 3 + 6 - 1 = 8 $

Ответ: 8

2)

Для вычисления $ \log_a x $, где $ x = \frac{a^4 \sqrt[3]{b}}{c^3} $, прологарифмируем выражение по основанию $ a $.

$ \log_a x = \log_a \left(\frac{a^4 \sqrt[3]{b}}{c^3}\right) $

Используем свойство логарифма частного $ \log_k \left(\frac{M}{N}\right) = \log_k M - \log_k N $:

$ \log_a \left(\frac{a^4 \sqrt[3]{b}}{c^3}\right) = \log_a(a^4 \sqrt[3]{b}) - \log_a(c^3) $

К первому слагаемому применим свойство логарифма произведения:

$ \log_a(a^4) + \log_a(\sqrt[3]{b}) - \log_a(c^3) $

Теперь используем свойство логарифма степени, учитывая, что $ \sqrt[3]{b} = b^{1/3} $:

$ 4\log_a a + \frac{1}{3}\log_a b - 3\log_a c $

Подставим известные значения $ \log_a a = 1 $, $ \log_a b = 3 $ и $ \log_a c = -2 $:

$ 4 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 3 - 3 \cdot (-2) = 4 + 1 - (-6) = 4 + 1 + 6 = 11 $

Ответ: 11

Вычислить (783-784).

783. 1) $\frac{\log_3 8}{\log_3 16}$;

2) $\frac{\log_5 27}{\log_5 9}$;

3) $\frac{\log_5 36 - \log_5 12}{\log_5 9}$;

4) $\frac{\log_7 8}{\log_7 15 - \log_7 30}$.

1)

Для вычисления значения выражения $\frac{\log_3 8}{\log_3 16}$ воспользуемся свойством логарифма степени: $\log_a (b^p) = p \cdot \log_a b$. Это свойство позволяет выносить показатель степени из-под знака логарифма.

Представим числа 8 и 16 как степени числа 2:

$\log_3 8 = \log_3 (2^3) = 3 \log_3 2$

$\log_3 16 = \log_3 (2^4) = 4 \log_3 2$

Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{\log_3 8}{\log_3 16} = \frac{3 \log_3 2}{4 \log_3 2}$

Сократим общий множитель $\log_3 2$ в числителе и знаменателе, так как он не равен нулю:

$\frac{3}{4}$

Также это можно было решить, используя формулу перехода к новому основанию: $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$. Тогда $\frac{\log_3 8}{\log_3 16} = \log_{16} 8$. Так как $16^{3/4} = (2^4)^{3/4} = 2^3 = 8$, то $\log_{16} 8 = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

2)

Для вычисления выражения $\frac{\log_5 27}{\log_5 9}$ используем тот же метод, что и в предыдущем задании, — свойство логарифма степени $\log_a (b^p) = p \cdot \log_a b$.

Представим числа 27 и 9 как степени числа 3:

$\log_5 27 = \log_5 (3^3) = 3 \log_5 3$

$\log_5 9 = \log_5 (3^2) = 2 \log_5 3$

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{\log_5 27}{\log_5 9} = \frac{3 \log_5 3}{2 \log_5 3}$

Сократим общий множитель $\log_5 3$:

$\frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $1.5$

3)

Рассмотрим выражение $\frac{\log_5 36 - \log_5 12}{\log_5 9}$.

Сначала упростим числитель, используя свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$.

$\log_5 36 - \log_5 12 = \log_5 (\frac{36}{12}) = \log_5 3$

Теперь выражение имеет вид: $\frac{\log_5 3}{\log_5 9}$.

Упростим знаменатель, представив 9 как $3^2$ и использовав свойство логарифма степени:

$\log_5 9 = \log_5 (3^2) = 2 \log_5 3$

Подставим упрощенный знаменатель в дробь:

$\frac{\log_5 3}{2 \log_5 3}$

Сократим общий множитель $\log_5 3$:

$\frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

4)

Рассмотрим выражение $\frac{\log_7 8}{\log_7 15 - \log_7 30}$.

Сначала упростим знаменатель, используя свойство разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$.

$\log_7 15 - \log_7 30 = \log_7 (\frac{15}{30}) = \log_7 (\frac{1}{2})$

Теперь выражение имеет вид: $\frac{\log_7 8}{\log_7 (\frac{1}{2})}$.

Далее воспользуемся свойством логарифма степени $\log_a (b^p) = p \cdot \log_a b$ для числителя и знаменателя. Представим 8 как $2^3$ и $\frac{1}{2}$ как $2^{-1}$.

Числитель: $\log_7 8 = \log_7 (2^3) = 3 \log_7 2$

Знаменатель: $\log_7 (\frac{1}{2}) = \log_7 (2^{-1}) = -1 \cdot \log_7 2 = -\log_7 2$

Подставим упрощенные выражения в дробь:

$\frac{3 \log_7 2}{-\log_7 2}$

Сократим общий множитель $\log_7 2$:

$\frac{3}{-1} = -3$

Ответ: $-3$

784. 1) $\frac{\log_2 24 - \frac{1}{2}\log_2 72}{\log_3 18 - \frac{1}{3}\log_3 72}$;

2) $\frac{\log_7 14 - \frac{1}{3}\log_7 56}{\log_6 30 - \frac{1}{2}\log_6 150}$;

3) $\frac{\log_2 4 + \log_2 \sqrt{10}}{\log_2 20 + 3 \log_2 2}$;

4) $\frac{3 \log_7 2 - \frac{1}{2}\log_7 64}{4 \log_5 2 + \frac{1}{3}\log_5 27}$.

1)

Для решения воспользуемся свойствами логарифмов: $n \log_a b = \log_a b^n$, $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.

Сначала упростим числитель дроби: $\log_2 24 - \frac{1}{2}\log_2 72$.

Представим числа под логарифмами в виде произведений: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$ и $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$.

$\log_2 24 = \log_2(2^3 \cdot 3) = \log_2 2^3 + \log_2 3 = 3 + \log_2 3$.

$\frac{1}{2}\log_2 72 = \frac{1}{2}\log_2(2^3 \cdot 3^2) = \frac{1}{2}(\log_2 2^3 + \log_2 3^2) = \frac{1}{2}(3 + 2\log_2 3) = \frac{3}{2} + \log_2 3$.

Выражение в числителе равно: $(3 + \log_2 3) - (\frac{3}{2} + \log_2 3) = 3 + \log_2 3 - \frac{3}{2} - \log_2 3 = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.

Теперь упростим знаменатель: $\log_3 18 - \frac{1}{3}\log_3 72$.

Представим числа под логарифмами в виде произведений: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$ и $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$.

$\log_3 18 = \log_3(2 \cdot 3^2) = \log_3 2 + \log_3 3^2 = \log_3 2 + 2$.

$\frac{1}{3}\log_3 72 = \frac{1}{3}\log_3(2^3 \cdot 3^2) = \frac{1}{3}(\log_3 2^3 + \log_3 3^2) = \frac{1}{3}(3\log_3 2 + 2) = \log_3 2 + \frac{2}{3}$.

Выражение в знаменателе равно: $(\log_3 2 + 2) - (\log_3 2 + \frac{2}{3}) = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

Вычисляем значение всей дроби: $\frac{3/2}{4/3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$.

Ответ: $\frac{9}{8}$.

2)

Упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Числитель: $\log_7 14 - \frac{1}{3}\log_7 56$.

Разложим числа на множители: $14 = 2 \cdot 7$ и $56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$.

$\log_7 14 = \log_7(2 \cdot 7) = \log_7 2 + \log_7 7 = \log_7 2 + 1$.

$\frac{1}{3}\log_7 56 = \frac{1}{3}\log_7(2^3 \cdot 7) = \frac{1}{3}(\log_7 2^3 + \log_7 7) = \frac{1}{3}(3\log_7 2 + 1) = \log_7 2 + \frac{1}{3}$.

Тогда числитель равен: $(\log_7 2 + 1) - (\log_7 2 + \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Знаменатель: $\log_6 30 - \frac{1}{2}\log_6 150$.

Разложим числа на множители: $30 = 5 \cdot 6$ и $150 = 25 \cdot 6 = 5^2 \cdot 6$.

$\log_6 30 = \log_6(5 \cdot 6) = \log_6 5 + \log_6 6 = \log_6 5 + 1$.

$\frac{1}{2}\log_6 150 = \frac{1}{2}\log_6(5^2 \cdot 6) = \frac{1}{2}(\log_6 5^2 + \log_6 6) = \frac{1}{2}(2\log_6 5 + 1) = \log_6 5 + \frac{1}{2}$.

Тогда знаменатель равен: $(\log_6 5 + 1) - (\log_6 5 + \frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Значение дроби: $\frac{2/3}{1/2} = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

3)

Преобразуем числитель и знаменатель дроби.

Числитель: $\log_2 4 + \log_2 \sqrt{10}$.

$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$.

$\log_2 \sqrt{10} = \log_2 10^{1/2} = \frac{1}{2} \log_2(2 \cdot 5) = \frac{1}{2}(\log_2 2 + \log_2 5) = \frac{1}{2}(1 + \log_2 5) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log_2 5$.

Числитель равен: $2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log_2 5 = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}\log_2 5 = \frac{1}{2}(5 + \log_2 5)$.

Знаменатель: $\log_2 20 + 3\log_2 2$.

$\log_2 20 = \log_2(4 \cdot 5) = \log_2 4 + \log_2 5 = 2 + \log_2 5$.

$3\log_2 2 = 3 \cdot 1 = 3$.

Знаменатель равен: $(2 + \log_2 5) + 3 = 5 + \log_2 5$.

Вычисляем значение всей дроби: $\frac{\frac{1}{2}(5 + \log_2 5)}{5 + \log_2 5}$.

Сокращая общий множитель $(5 + \log_2 5)$, получаем $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4)

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби.

Числитель: $3\log_7 2 - \frac{1}{2}\log_7 64$.

Используем свойство $n \log_a b = \log_a b^n$ и тот факт, что $64 = 2^6$.

$3\log_7 2 - \frac{1}{2}\log_7 64 = \log_7 2^3 - \log_7 64^{1/2} = \log_7 8 - \log_7 \sqrt{64} = \log_7 8 - \log_7 8 = 0$.

Так как числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю, то значение всего выражения равно нулю.

Проверим знаменатель: $4\log_5 2 + \frac{1}{3}\log_5 27 = \log_5 2^4 + \log_5 27^{1/3} = \log_5 16 + \log_5 3 = \log_5 (16 \cdot 3) = \log_5 48 \neq 0$.

Следовательно, значение дроби равно $\frac{0}{\log_5 48} = 0$.

Ответ: $0$.