Страница 252 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

820. Вычислить на микрокалькуляторе приближённое значение

числа e по формуле $e \approx 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots \cdot n}$

при:

1) $n=7$;

2) $n=8$;

3) $n=9$;

4) $n=10$.

Данная в задаче формула является приближенным вычислением числа $e$ через частичную сумму ряда Тейлора. Формулу можно представить в виде суммы с использованием факториалов:

$e \approx 2 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots + \frac{1}{n!}$

Это выражение эквивалентно сумме $S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$, поскольку $2 = 1+1 = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!}$ (по определению $0!=1$).

Мы будем последовательно вычислять значения этой суммы для каждого заданного $n$. Для удобства будем обозначать приближенное значение как $E_n$. Вычисления будем производить с достаточной точностью, чтобы избежать ошибок округления, и округлять конечный результат.

1) n = 7;

При $n=7$ необходимо вычислить сумму:

$E_7 = 2 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!} + \frac{1}{7!}$

Вычислим значения слагаемых и будем последовательно суммировать их:

$E_2 = 2 + \frac{1}{2} = 2.5$

$E_3 = E_2 + \frac{1}{6} \approx 2.5 + 0.1666667 = 2.6666667$

$E_4 = E_3 + \frac{1}{24} \approx 2.6666667 + 0.0416667 = 2.7083334$

$E_5 = E_4 + \frac{1}{120} \approx 2.7083334 + 0.0083333 = 2.7166667$

$E_6 = E_5 + \frac{1}{720} \approx 2.7166667 + 0.0013889 = 2.7180556$

$E_7 = E_6 + \frac{1}{5040} \approx 2.7180556 + 0.0001984 = 2.7182540$

Ответ: $e \approx 2.7182540$

2) n = 8;

Для вычисления $E_8$ добавим к предыдущему результату $E_7$ следующее слагаемое ряда $\frac{1}{8!}$.

$E_8 = E_7 + \frac{1}{8!}$

$8! = 7! \cdot 8 = 5040 \cdot 8 = 40320$

$\frac{1}{8!} = \frac{1}{40320} \approx 0.00002480$

$E_8 \approx 2.7182540 + 0.00002480 = 2.7182788$

Ответ: $e \approx 2.7182788$

3) n = 9;

Для вычисления $E_9$ добавим к результату $E_8$ слагаемое $\frac{1}{9!}$.

$E_9 = E_8 + \frac{1}{9!}$

$9! = 8! \cdot 9 = 40320 \cdot 9 = 362880$

$\frac{1}{9!} = \frac{1}{362880} \approx 0.00000276$

$E_9 \approx 2.7182788 + 0.00000276 = 2.71828156 \approx 2.7182816$

Чтобы избежать накопления ошибки округления, воспользуемся более точным значением $E_8 \approx 2.71827877$: $E_9 \approx 2.71827877 + 0.00000276 = 2.71828153$

Ответ: $e \approx 2.7182815$

4) n = 10.

Для вычисления $E_{10}$ добавим к результату $E_9$ слагаемое $\frac{1}{10!}$.

$E_{10} = E_9 + \frac{1}{10!}$

$10! = 9! \cdot 10 = 362880 \cdot 10 = 3628800$

$\frac{1}{10!} = \frac{1}{3628800} \approx 0.00000028$

Используя более точное значение $E_9 \approx 2.71828153$: $E_{10} \approx 2.71828153 + 0.00000028 = 2.71828181$

Ответ: $e \approx 2.7182818$