Страница 259 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

839. Установить, какое из данных двух уравнений является следствием другого уравнения:

1) $x - 3 = 0$ и $x^2 - 5x + 6 = 0$;

2) $|x| = 5$ и $\sqrt{x^2} = 5$;

3) $\frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = 0$ и $x^2 - 3x + 2 = 0$;

4) $\log_8 x + \log_8 (x - 2) = 1$ и $\log_8 (x(x - 2)) = 1$.

Уравнение (Б) называется следствием уравнения (А), если множество корней уравнения (А) является подмножеством множества корней уравнения (Б). Чтобы установить, какое из уравнений является следствием другого, найдем множества решений для каждой пары уравнений.

1) $x - 3 = 0$ и $x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим первое уравнение:
$x - 3 = 0$
$x = 3$
Множество решений первого уравнения: $M_1 = \{3\}$.

Решим второе уравнение:
$x^2 - 5x + 6 = 0$
Это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
Множество решений второго уравнения: $M_2 = \{2, 3\}$.

Сравнивая множества решений, мы видим, что $M_1 \subset M_2$. Каждый корень первого уравнения является корнем второго. Обратное неверно: корень $x=2$ второго уравнения не является корнем первого.

Ответ: Уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$ является следствием уравнения $x - 3 = 0$.

2) $|x| = 5$ и $\sqrt{x^2} = 5$

Решим первое уравнение:
$|x| = 5$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Множество решений первого уравнения: $M_1 = \{-5, 5\}$.

Решим второе уравнение:
$\sqrt{x^2} = 5$
По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Следовательно, уравнение можно переписать в виде:
$|x| = 5$
Это уравнение, как и первое, имеет два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Множество решений второго уравнения: $M_2 = \{-5, 5\}$.

Множества решений обоих уравнений совпадают: $M_1 = M_2$. Это означает, что уравнения являются равносильными.

Ответ: Данные уравнения равносильны, следовательно, каждое из них является следствием другого.

3) $\frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = 0$ и $x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим первое уравнение:
$\frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 3x + 2 = 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases}$
Решаем уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.
Проверяем условие $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Корень $x=1$ является посторонним.
Единственным решением является $x=2$.
Множество решений первого уравнения: $M_1 = \{2\}$.

Решим второе уравнение:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
Корни этого уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.
Множество решений второго уравнения: $M_2 = \{1, 2\}$.

Сравнивая множества решений, мы видим, что $M_1 \subset M_2$. Корень первого уравнения является корнем второго. Обратное неверно: корень $x=1$ второго уравнения не является корнем первого.

Ответ: Уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$ является следствием уравнения $\frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = 0$.

4) $\log_8 x + \log_8 (x-2) = 1$ и $\log_8 (x(x-2)) = 1$

Решим первое уравнение:
$\log_8 x + \log_8 (x-2) = 1$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств:
$\begin{cases} x > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 2$.
На ОДЗ применяем свойство логарифмов $\log_b M + \log_b N = \log_b (MN)$:
$\log_8 (x(x-2)) = 1$
По определению логарифма:
$x(x-2) = 8^1$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = -2$.
Проверяем корни на принадлежность ОДЗ ($x>2$): $x=4$ удовлетворяет условию, $x=-2$ не удовлетворяет.
Множество решений первого уравнения: $M_1 = \{4\}$.

Решим второе уравнение:
$\log_8 (x(x-2)) = 1$
ОДЗ определяется неравенством:
$x(x-2) > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.
Решаем само уравнение:
$x(x-2) = 8^1$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -2$.
Проверяем корни на принадлежность ОДЗ: $x=4$ удовлетворяет ($4 \in (2, +\infty)$), $x=-2$ удовлетворяет ($-2 \in (-\infty, 0)$).
Множество решений второго уравнения: $M_2 = \{-2, 4\}$.

Сравнивая множества решений, мы видим, что $M_1 \subset M_2$. Корень первого уравнения является корнем второго. Обратное неверно: корень $x=-2$ второго уравнения не является корнем первого.

Ответ: Уравнение $\log_8 (x(x-2)) = 1$ является следствием уравнения $\log_8 x + \log_8 (x-2) = 1$.

Решить уравнение (840–844).

840. 1) $\log_2 (x - 5) + \log_2 (x + 2) = 3;$

2) $\log_3 (x - 2) + \log_3 (x + 6) = 2;$

3) $\lg (x + \sqrt{3}) + \lg (x - \sqrt{3}) = 0;$

4) $\lg (x - 1) + \lg (x + 1) = 0.$

1) $log_2(x - 5) + log_2(x + 2) = 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x - 5 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ x > -2 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 5$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (5, +\infty)$.

Воспользуемся свойством суммы логарифмов: $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$.

$log_2((x - 5)(x + 2)) = 3$

По определению логарифма ($log_a b = c \iff a^c = b$), преобразуем уравнение:

$(x - 5)(x + 2) = 2^3$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 5x - 10 = 8$

$x^2 - 3x - 18 = 0$

Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = -3$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 5$).

Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию $6 > 5$.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $-3 > 5$, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $6$.

2) $log_3(x - 2) + log_3(x + 6) = 2$

ОДЗ:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -6 \end{cases}$

Пересечение условий дает $x > 2$. ОДЗ: $x \in (2, +\infty)$.

Применяем свойство суммы логарифмов:

$log_3((x - 2)(x + 6)) = 2$

По определению логарифма:

$(x - 2)(x + 6) = 3^2$

$x^2 + 6x - 2x - 12 = 9$

$x^2 + 4x - 21 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = -7$

Проверяем корни по ОДЗ ($x > 2$).

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 > 2$.

Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию $-7 > 2$, это посторонний корень.

Ответ: $3$.

3) $lg(x + \sqrt{3}) + lg(x - \sqrt{3}) = 0$

ОДЗ (lg - это десятичный логарифм, $log_{10}$):

$\begin{cases} x + \sqrt{3} > 0 \\ x - \sqrt{3} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -\sqrt{3} \\ x > \sqrt{3} \end{cases}$

Пересечение условий дает $x > \sqrt{3}$. ОДЗ: $x \in (\sqrt{3}, +\infty)$.

Применяем свойство суммы логарифмов и формулу разности квадратов:

$lg((x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})) = 0$

$lg(x^2 - (\sqrt{3})^2) = 0$

$lg(x^2 - 3) = 0$

По определению логарифма:

$x^2 - 3 = 10^0$

$x^2 - 3 = 1$

$x^2 = 4$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x > \sqrt{3} \approx 1.732$).

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > \sqrt{3}$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 > \sqrt{3}$, это посторонний корень.

Ответ: $2$.

4) $lg(x - 1) + lg(x + 1) = 0$

ОДЗ:

$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечение условий дает $x > 1$. ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

Применяем свойство суммы логарифмов и формулу разности квадратов:

$lg((x - 1)(x + 1)) = 0$

$lg(x^2 - 1^2) = 0$

$lg(x^2 - 1) = 0$

По определению логарифма:

$x^2 - 1 = 10^0$

$x^2 - 1 = 1$

$x^2 = 2$

$x_1 = \sqrt{2}$, $x_2 = -\sqrt{2}$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x > 1$).

Корень $x_1 = \sqrt{2}$ удовлетворяет условию $\sqrt{2} > 1$ (так как $2 > 1$).

Корень $x_2 = -\sqrt{2}$ не удовлетворяет условию $-\sqrt{2} > 1$, это посторонний корень.

Ответ: $\sqrt{2}$.

841. 1) $ \lg (x - 1) - \lg (2x - 11) = \lg 2; $

2) $ \lg (3x - 1) - \lg (x + 5) = \lg 5. $

1) Решим уравнение $\lg (x - 1) - \lg (2x - 11) = \lg 2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля.

$\begin{cases}x - 1 > 0 \\2x - 11 > 0\end{cases}$

Решим эту систему неравенств:

$\begin{cases}x > 1 \\2x > 11\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x > 1 \\x > 5.5\end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (5.5, +\infty)$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\lg\left(\frac{x - 1}{2x - 11}\right) = \lg 2$

Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения одинаковы (равны 10), мы можем приравнять их аргументы:

$\frac{x - 1}{2x - 11} = 2$

Решим полученное дробно-рациональное уравнение, умножив обе части на знаменатель $2x - 11$ (который не равен нулю в силу ОДЗ):

$x - 1 = 2(2x - 11)$

$x - 1 = 4x - 22$

$22 - 1 = 4x - x$

$21 = 3x$

$x = 7$

Проверим, входит ли полученный корень в ОДЗ. Условие $7 > 5.5$ выполняется. Следовательно, корень $x=7$ является решением уравнения.

Ответ: $7$.

2) Решим уравнение $\lg (3x - 1) - \lg (x + 5) = \lg 5$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases}3x - 1 > 0 \\x + 5 > 0\end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases}3x > 1 \\x > -5\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x > \frac{1}{3} \\x > -5\end{cases}$

Общим решением системы является $x > \frac{1}{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{1}{3}, +\infty)$.

Используем свойство разности логарифмов:

$\lg\left(\frac{3x - 1}{x + 5}\right) = \lg 5$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$\frac{3x - 1}{x + 5} = 5$

Решаем уравнение:

$3x - 1 = 5(x + 5)$

$3x - 1 = 5x + 25$

$-1 - 25 = 5x - 3x$

$-26 = 2x$

$x = -13$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение ОДЗ. Условие $x > \frac{1}{3}$ не выполняется, так как $-13 < \frac{1}{3}$.

Следовательно, найденное значение $x = -13$ является посторонним корнем, и уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.