Номер 819, страница 251 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

819. Расстояния $d$ планет от Солнца (в астрономических единицах) и их периоды обращения вокруг Солнца $T$ (в годах) приведены в таблице.

Продолжение

Найти формулу зависимости $T$ от $d$.

Для нахождения формулы зависимости периода обращения планеты $T$ от расстояния до Солнца $d$, воспользуемся третьим законом Кеплера. Этот закон гласит, что квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит. Если считать орбиты планет круговыми (что является хорошим приближением), то большую полуось можно заменить средним расстоянием $d$.

Математически третий закон Кеплера можно записать в виде:

$\frac{T^2}{d^3} = k$

где $k$ — постоянная величина для всех планет, вращающихся вокруг Солнца.

Чтобы найти значение этой постоянной, воспользуемся данными для планеты Земля из таблицы:

• Расстояние $d$ для Земли = $1.000$ а.е. (астрономическая единица)
• Период $T$ для Земли = $1.000$ год

Подставим эти значения в формулу:

$k = \frac{1.000^2}{1.000^3} = \frac{1}{1} = 1$

Таким образом, постоянная $k$ равна 1, когда расстояние измеряется в астрономических единицах, а период — в земных годах. Это и ожидалось, поскольку сами эти единицы измерения определены на основе орбиты Земли.

Теперь проверим эту зависимость для других планет, чтобы убедиться в ее справедливости.

Для Марса:

• $d = 1.523$ а.е.
• $T = 1.881$ год

$\frac{T^2}{d^3} = \frac{1.881^2}{1.523^3} \approx \frac{3.538161}{3.533222} \approx 1.0014$

Для Юпитера:

• $d = 5.203$ а.е.
• $T = 11.861$ год

$\frac{T^2}{d^3} = \frac{11.861^2}{5.203^3} \approx \frac{140.683321}{140.851547} \approx 0.9988$

Как видно из расчетов, отношение $\frac{T^2}{d^3}$ для всех планет очень близко к 1. Небольшие отклонения объясняются погрешностью измерений, приведенных в таблице, и тем, что реальные орбиты планет являются эллипсами, а не идеальными окружностями.

Следовательно, можно принять, что $k=1$, и формула зависимости имеет вид:

$\frac{T^2}{d^3} = 1$

Выразим отсюда $T$:

$T^2 = d^3$

$T = \sqrt{d^3}$

Эту формулу также можно записать в виде степенной функции:

$T = d^{3/2}$ или $T = d^{1.5}$

Ответ: Формула зависимости периода обращения $T$ (в годах) от расстояния до Солнца $d$ (в астрономических единицах) имеет вид $T = d^{3/2}$.