Номер 813, страница 251 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

813. Вычислить (не используя микрокалькулятор):

1) $\frac{\log_5 2}{\log_5 6} + \frac{\log_4 3}{\log_4 6}$;

2) $(\log_7 2 + \frac{1}{\log_5 7})\lg 7$;

3) $\frac{2 \log_2 3}{\log_4 9}$.

1) $\frac{\log_5 2}{\log_5 6} + \frac{\log_4 3}{\log_4 6}$

Для решения воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. Применим эту формулу в обратном порядке для каждого слагаемого в выражении. Основанием нового логарифма будет число, стоящее в аргументе логарифмов в знаменателе.

Для первого слагаемого: $\frac{\log_5 2}{\log_5 6} = \log_6 2$.

Для второго слагаемого: $\frac{\log_4 3}{\log_4 6} = \log_6 3$.

Теперь исходное выражение можно записать как сумму логарифмов с одинаковым основанием:

$\log_6 2 + \log_6 3$

Используем свойство суммы логарифмов: $\log_b x + \log_b y = \log_b(xy)$.

$\log_6 2 + \log_6 3 = \log_6(2 \cdot 3) = \log_6 6$

По основному свойству логарифмов $\log_b b = 1$.

$\log_6 6 = 1$

Ответ: 1.

2) $(\log_7 2 + \frac{1}{\log_5 7}) \lg 7$

Сначала преобразуем выражение в скобках. Для этого используем свойство логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ для второго слагаемого:

$\frac{1}{\log_5 7} = \log_7 5$

Подставим это в скобки:

$\log_7 2 + \log_7 5$

Теперь применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $\log_b x + \log_b y = \log_b(xy)$:

$\log_7 2 + \log_7 5 = \log_7(2 \cdot 5) = \log_7 10$

Вернемся к исходному выражению. Учтем, что $\lg 7$ - это десятичный логарифм, то есть $\log_{10} 7$.

$(\log_7 10) \cdot \lg 7 = (\log_7 10) \cdot (\log_{10} 7)$

Далее можно использовать свойство $\log_a b \cdot \log_b a = 1$. В нашем случае $a=7$ и $b=10$, поэтому произведение равно 1.

В качестве альтернативы, можно применить формулу перехода к основанию 10 для первого множителя: $\log_7 10 = \frac{\log_{10} 10}{\log_{10} 7} = \frac{1}{\lg 7}$.

Тогда выражение примет вид:

$\frac{1}{\lg 7} \cdot \lg 7 = 1$

Ответ: 1.

3) $\frac{2 \log_2 3}{\log_4 9}$

Преобразуем знаменатель дроби, $\log_4 9$. Представим основание 4 и аргумент 9 в виде степеней: $4 = 2^2$ и $9 = 3^2$.

$\log_4 9 = \log_{2^2} 3^2$

Воспользуемся свойством степени основания и аргумента логарифма: $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$.

$\log_{2^2} 3^2 = \frac{2}{2} \log_2 3 = 1 \cdot \log_2 3 = \log_2 3$

Теперь подставим полученный результат в знаменатель исходной дроби:

$\frac{2 \log_2 3}{\log_2 3}$

Сократим одинаковые множители $\log_2 3$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2 \cancel{\log_2 3}}{\cancel{\log_2 3}} = 2$

Ответ: 2.