Номер 816, страница 251 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

816. При одном качании поршневого насоса из сосуда удаляется 1,2% содержащегося в нём воздуха. Через сколько качаний насоса в сосуде останется $\frac{1}{10^{16}}$ часть первоначальной массы воздуха?

Пусть $M_0$ — первоначальная масса воздуха в сосуде. При каждом качании насоса удаляется 1,2% воздуха, что составляет 0,012 от текущей массы. Следовательно, в сосуде остается $100\% - 1,2\% = 98,8\%$ или 0,988 от массы воздуха, которая была перед качанием.

Таким образом, изменение массы воздуха после каждого качания представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 0,988$. Масса воздуха в сосуде после $n$ качаний, $M_n$, выражается формулой:$M_n = M_0 \cdot (0,988)^n$.

Согласно условию задачи, необходимо найти количество качаний $n$, после которого в сосуде останется $\frac{1}{10^{16}}$ часть первоначальной массы воздуха. Это означает, что масса $M_n$ должна стать меньше или равной $\frac{M_0}{10^{16}}$. Составим неравенство:$M_0 \cdot (0,988)^n \le \frac{M_0}{10^{16}}$.

Разделим обе части неравенства на $M_0$ (так как $M_0 > 0$, знак неравенства не меняется):$(0,988)^n \le \frac{1}{10^{16}}$, что то же самое, что и $(0,988)^n \le 10^{-16}$.

Для решения этого показательного неравенства относительно $n$, прологарифмируем обе его части. Удобнее всего использовать десятичный логарифм ($\lg$), так как в правой части стоит степень числа 10.$\lg((0,988)^n) \le \lg(10^{-16})$.

Используя свойство логарифма степени $\lg(a^b) = b \cdot \lg(a)$, получаем:$n \cdot \lg(0,988) \le -16$.

Теперь выразим $n$. Для этого нужно разделить обе части неравенства на $\lg(0,988)$. Важно учесть, что так как основание логарифма 10 больше 1, а число под логарифмом $0,988$ меньше 1, то значение $\lg(0,988)$ будет отрицательным. При делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:$n \ge \frac{-16}{\lg(0,988)}$.

Вычислим приближенное значение правой части:$\lg(0,988) \approx -0,0052431$.$n \ge \frac{-16}{-0,0052431} \approx 3051,73$.

Поскольку число качаний $n$ может быть только целым числом, наименьшее целое значение, удовлетворяющее этому неравенству, — это следующее за 3051,73 целое число, то есть 3052.

Ответ: 3052.