Номер 818, страница 251 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

818. Вода в глубоком озере содержит взвесь, которая уменьшает проходимость света в воде. Эксперименты показали, что при прохождении каждых 20 см воды интенсивность света уменьшается на 10%. Днём измерительный прибор опустили на дно озера и начали постепенно поднимать. На какой глубине $h$ впервые покажет наличие света прибор, способный обнаруживать $0,17\%$ дневного света?

Пусть $I_0$ — интенсивность дневного света на поверхности озера (на глубине 0). Согласно условию задачи, при прохождении каждых 20 см воды интенсивность света уменьшается на 10%. Это означает, что после прохождения 20 см слоя воды остается $100\% - 10\% = 90\%$ от первоначальной интенсивности, то есть интенсивность умножается на коэффициент 0,9.

Этот процесс можно описать с помощью модели экспоненциального затухания, которая в данном дискретном случае представляет собой геометрическую прогрессию. Пусть $h$ — искомая глубина в сантиметрах. Тогда количество 20-сантиметровых слоев воды, которые проходит свет, равно $n = \frac{h}{20}$.

Интенсивность света $I(h)$ на глубине $h$ будет связана с начальной интенсивностью $I_0$ следующим соотношением:$I(h) = I_0 \cdot (0.9)^n = I_0 \cdot (0.9)^{h/20}$

Прибор способен обнаружить свет, когда его интенсивность достигает 0,17% от интенсивности дневного света. Выразим это пороговое значение в виде десятичной дроби:$0.17\% = \frac{0.17}{100} = 0.0017$

Таким образом, прибор зафиксирует свет в тот момент, когда интенсивность на его датчике станет равна $0.0017 \cdot I_0$. Чтобы найти глубину $h$, на которой это произойдет, составим уравнение:$I(h) = 0.0017 \cdot I_0$$I_0 \cdot (0.9)^{h/20} = 0.0017 \cdot I_0$

Сократив $I_0$ в обеих частях уравнения, получим показательное уравнение относительно $h$:$(0.9)^{h/20} = 0.0017$

Для решения этого уравнения прологарифмируем обе части. Удобно использовать натуральный логарифм (ln):$\ln\left((0.9)^{h/20}\right) = \ln(0.0017)$

Используя свойство логарифма степени $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$, преобразуем левую часть:$\frac{h}{20} \cdot \ln(0.9) = \ln(0.0017)$

Теперь выразим искомую глубину $h$:$h = 20 \cdot \frac{\ln(0.0017)}{\ln(0.9)}$

Воспользуемся калькулятором для нахождения значений логарифмов:$\ln(0.0017) \approx -6.3767$$\ln(0.9) \approx -0.10536$

Подставим эти значения в формулу для $h$:$h \approx 20 \cdot \frac{-6.3767}{-0.10536} \approx 20 \cdot 60.525 \approx 1210.5$ см.

Так как в вопросе спрашивается о глубине, на которой прибор, поднимаемый со дна, впервые покажет наличие света, то найденное значение и есть искомая глубина. Переведем результат в метры для более наглядного представления:$h \approx 1210.5 \text{ см} = 12.105 \text{ м}$.Округлим результат до десятых.

Ответ: 12,1 м.