Номер 815, страница 251 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

815. Вакуумный насос сконструирован таким образом, что за один ход он удаляет $3\%$ содержащегося в камере газа. За сколько ходов насос удалит из камеры $99\%$ газа?

Пусть $V_0$ — начальное количество газа в камере. За один ход насос удаляет 3% газа, следовательно, в камере остается $100\% - 3\% = 97\%$ газа. Это можно выразить как множитель $0.97$.

После первого хода в камере останется количество газа, равное $V_1 = V_0 \cdot 0.97$.

После второго хода количество оставшегося газа будет $V_2 = V_1 \cdot 0.97 = (V_0 \cdot 0.97) \cdot 0.97 = V_0 \cdot (0.97)^2$.

Таким образом, количество газа $V_n$, оставшееся в камере после $n$ ходов, описывается формулой геометрической прогрессии: $V_n = V_0 \cdot (0.97)^n$

Согласно условию, необходимо удалить 99% газа. Это означает, что в камере должно остаться $100\% - 99\% = 1\%$ от первоначального количества газа. Иными словами, мы ищем такое наименьшее целое число ходов $n$, при котором количество оставшегося газа $V_n$ будет составлять не более 1% от начального $V_0$: $V_n \le 0.01 \cdot V_0$

Подставим в это неравенство выражение для $V_n$: $V_0 \cdot (0.97)^n \le 0.01 \cdot V_0$

Разделим обе части на $V_0$ (так как начальное количество газа является положительной величиной): $(0.97)^n \le 0.01$

Для нахождения показателя степени $n$ прологарифмируем обе части неравенства. Воспользуемся натуральным логарифмом (ln): $\ln((0.97)^n) \le \ln(0.01)$

Применяя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$, получаем: $n \cdot \ln(0.97) \le \ln(0.01)$

Теперь выразим $n$. Важно учесть, что $\ln(0.97)$ является отрицательным числом, поскольку его аргумент ($0.97$) меньше 1. При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный: $n \ge \frac{\ln(0.01)}{\ln(0.97)}$

Вычислим приближенные значения логарифмов: $\ln(0.01) \approx -4.60517$ $\ln(0.97) \approx -0.03046$

Подставим эти значения: $n \ge \frac{-4.60517}{-0.03046} \approx 151.187$

Поскольку количество ходов $n$ может быть только целым числом, а по условию $n$ должно быть не меньше $151.187$, то наименьшим подходящим целым числом будет 152.

Ответ: 152 хода.