Номер 812, страница 251 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

812. Решить уравнение:

1) $\log^2_2 x - 9 \log_8 x = 4;$

2) $16 \log^2_{16} x + 3 \log_4 x - 1 = 0;$

3) $\log^2_3 x + 5 \log_9 x - 1,5 = 0;$

4) $\log^2_3 x - 15 \log_{27} x + 6 = 0.$

1) $\log_2^2 x - 9 \log_8 x = 4$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Приведем логарифм по основанию 8 к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$:
$\log_8 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 8} = \frac{\log_2 x}{3}$
Подставим это в исходное уравнение:
$\log_2^2 x - 9 \left(\frac{\log_2 x}{3}\right) = 4$
$\log_2^2 x - 3 \log_2 x - 4 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:
$t^2 - 3t - 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения:
$t_1 = 4$
$t_2 = -1$
Выполним обратную замену:
1) $\log_2 x = 4 \implies x = 2^4 = 16$.
2) $\log_2 x = -1 \implies x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Оба корня ($16$ и $\frac{1}{2}$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $16; \frac{1}{2}$.

2) $16 \log_{16}^2 x + 3 \log_4 x - 1 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Приведем логарифм по основанию 16 к основанию 4:
$\log_{16} x = \frac{\log_4 x}{\log_4 16} = \frac{\log_4 x}{2}$
Подставим в уравнение:
$16 \left(\frac{\log_4 x}{2}\right)^2 + 3 \log_4 x - 1 = 0$
$16 \frac{\log_4^2 x}{4} + 3 \log_4 x - 1 = 0$
$4 \log_4^2 x + 3 \log_4 x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \log_4 x$:
$4t^2 + 3t - 1 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$
Выполним обратную замену:
1) $\log_4 x = \frac{1}{4} \implies x = 4^{1/4} = (2^2)^{1/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.
2) $\log_4 x = -1 \implies x = 4^{-1} = \frac{1}{4}$.
Оба корня ($\sqrt{2}$ и $\frac{1}{4}$) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\sqrt{2}; \frac{1}{4}$.

3) $\log_3^2 x + 5 \log_9 x - 1,5 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Приведем логарифм по основанию 9 к основанию 3:
$\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2}$
Подставим в уравнение:
$\log_3^2 x + 5 \left(\frac{\log_3 x}{2}\right) - 1,5 = 0$
$\log_3^2 x + \frac{5}{2} \log_3 x - \frac{3}{2} = 0$
Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:
$2 \log_3^2 x + 5 \log_3 x - 3 = 0$
Сделаем замену $t = \log_3 x$:
$2t^2 + 5t - 3 = 0$
Найдем корни через дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$
$t_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$
Выполним обратную замену:
1) $\log_3 x = \frac{1}{2} \implies x = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.
2) $\log_3 x = -3 \implies x = 3^{-3} = \frac{1}{27}$.
Оба корня ($\sqrt{3}$ и $\frac{1}{27}$) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\sqrt{3}; \frac{1}{27}$.

4) $\log_3^2 x - 15 \log_{27} x + 6 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Приведем логарифм по основанию 27 к основанию 3:
$\log_{27} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 27} = \frac{\log_3 x}{3}$
Подставим в уравнение:
$\log_3^2 x - 15 \left(\frac{\log_3 x}{3}\right) + 6 = 0$
$\log_3^2 x - 5 \log_3 x + 6 = 0$
Сделаем замену $t = \log_3 x$:
$t^2 - 5t + 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения:
$t_1 = 2$
$t_2 = 3$
Выполним обратную замену:
1) $\log_3 x = 2 \implies x = 3^2 = 9$.
2) $\log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$.
Оба корня ($9$ и $27$) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $9; 27$.