Номер 821, страница 255 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

821. Сравнить числа:

1) $ \log_3 \frac{6}{5} \text{ и } \log_3 \frac{5}{6} $;

2) $ \log_{\frac{1}{3}} 9 \text{ и } \log_{\frac{1}{3}} 17 $;

3) $ \log_{\frac{1}{2}} e \text{ и } \log_{\frac{1}{2}} \pi $;

4) $ \log_2 \frac{\sqrt{5}}{2} \text{ и } \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2} $.

1) Для сравнения чисел $\log_3 \frac{6}{5}$ и $\log_3 \frac{5}{6}$ воспользуемся свойством монотонности логарифмической функции.

Основание логарифма $a=3$. Поскольку $a > 1$, логарифмическая функция $y = \log_3 x$ является возрастающей. Это значит, что для любых $x_1 > x_2 > 0$ выполняется неравенство $\log_3 x_1 > \log_3 x_2$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма.

Теперь сравним аргументы логарифмов: $\frac{6}{5}$ и $\frac{5}{6}$.

Так как $\frac{6}{5} = 1.2$, а $\frac{5}{6}$ - правильная дробь (меньше 1), то очевидно, что $\frac{6}{5} > \frac{5}{6}$.

Поскольку функция $y=\log_3 x$ возрастающая, из неравенства $\frac{6}{5} > \frac{5}{6}$ следует, что $\log_3 \frac{6}{5} > \log_3 \frac{5}{6}$.

Ответ: $\log_3 \frac{6}{5} > \log_3 \frac{5}{6}$.

2) Для сравнения чисел $\log_{\frac{1}{3}} 9$ и $\log_{\frac{1}{3}} 17$ рассмотрим основание логарифма.

Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$. Поскольку $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ является убывающей. Это значит, что для любых $x_1 > x_2 > 0$ выполняется неравенство $\log_a x_1 < \log_a x_2$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма.

Сравним аргументы логарифмов: $9$ и $17$.

Очевидно, что $9 < 17$.

Так как функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ убывающая, знак неравенства для логарифмов будет противоположным знаку неравенства для их аргументов. Следовательно, $\log_{\frac{1}{3}} 9 > \log_{\frac{1}{3}} 17$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{3}} 9 > \log_{\frac{1}{3}} 17$.

3) Для сравнения чисел $\log_{\frac{1}{2}} e$ и $\log_{\frac{1}{2}} \pi$ рассмотрим основание логарифма.

Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$. Поскольку $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним аргументы логарифмов: число Эйлера $e$ и число пи $\pi$.

Известно, что $e \approx 2.718$ и $\pi \approx 3.141$. Таким образом, $e < \pi$.

Поскольку функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ убывающая, то из неравенства $e < \pi$ следует, что $\log_{\frac{1}{2}} e > \log_{\frac{1}{2}} \pi$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{2}} e > \log_{\frac{1}{2}} \pi$.

4) Для сравнения чисел $\log_2 \frac{\sqrt{5}}{2}$ и $\log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$ воспользуемся свойством монотонности логарифмической функции.

Основание логарифма $a=2$. Поскольку $a > 1$, логарифмическая функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма.

Сравним аргументы логарифмов: $\frac{\sqrt{5}}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как знаменатели дробей одинаковы, для их сравнения достаточно сравнить числители: $\sqrt{5}$ и $\sqrt{3}$.

Поскольку $5 > 3$ и функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для $x>0$, то $\sqrt{5} > \sqrt{3}$.

Следовательно, $\frac{\sqrt{5}}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как функция $y=\log_2 x$ возрастающая, из неравенства $\frac{\sqrt{5}}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2}$ следует, что $\log_2 \frac{\sqrt{5}}{2} > \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\log_2 \frac{\sqrt{5}}{2} > \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.