Номер 826, страница 255 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

826. По графику функции $y = \log_{2} x$ найти приближённо $\log_{2} 3; \log_{2} 0,3; \log_{2} 5; \log_{2} 0,7.$

Для того чтобы найти приближенное значение логарифма по основанию 2 для некоторого числа $a$ (т.е. найти $\log_2 a$) с помощью графика функции $y = \log_2 x$, необходимо выполнить следующие действия:

1. На горизонтальной оси (оси абсцисс $Ox$) найти точку, соответствующую числу $a$.
2. Из этой точки провести вертикальную прямую до ее пересечения с графиком функции $y = \log_2 x$.
3. Из точки пересечения провести горизонтальную прямую до ее пересечения с вертикальной осью (осью ординат $Oy$).
4. Координата точки пересечения на оси $Oy$ и будет являться приближенным значением $\log_2 a$.

Для большей точности при чтении графика полезно помнить некоторые опорные точки, через которые проходит график функции $y = \log_2 x$:

• $(0,25; -2)$, так как $2^{-2} = 0,25$
• $(0,5; -1)$, так как $2^{-1} = 0,5$
• $(1; 0)$, так как $2^0 = 1$
• $(2; 1)$, так как $2^1 = 2$
• $(4; 2)$, так как $2^2 = 4$
• $(8; 3)$, так как $2^3 = 8$

Теперь применим этот метод для нахождения заданных значений.

$\log_2 3$

На оси $Ox$ находим значение $x=3$. Оно находится между $x=2$ и $x=4$. Поднимаем перпендикуляр от точки $x=3$ до пересечения с графиком. Так как $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 4 = 2$, то значение $\log_2 3$ будет находиться в интервале между 1 и 2. Проведя от точки на графике горизонтальную линию к оси $Oy$, мы получим значение, которое немного больше 1,5. Считывая с графика, можно определить, что оно составляет примерно 1,6.

Ответ: $\log_2 3 \approx 1,6$.

$\log_2 0,3$

На оси $Ox$ находим значение $x=0,3$. Оно находится между $x=0,25$ и $x=0,5$. Опускаем перпендикуляр от $x=0,3$ до пересечения с графиком. Мы знаем, что $\log_2 0,25 = -2$ и $\log_2 0,5 = -1$, значит, искомое значение лежит между -2 и -1. Точка $x=0,3$ находится ближе к $x=0,25$, чем к $x=0,5$. Проведя горизонтальную линию от точки на графике к оси $Oy$, получим значение приблизительно -1,7.

Ответ: $\log_2 0,3 \approx -1,7$.

$\log_2 5$

На оси $Ox$ находим значение $x=5$. Оно находится между $x=4$ и $x=8$. Поднимаем перпендикуляр от $x=5$ до пересечения с графиком. Так как $\log_2 4 = 2$ и $\log_2 8 = 3$, значение $\log_2 5$ будет в интервале от 2 до 3. Поскольку $x=5$ находится ближе к $x=4$, то и значение логарифма будет ближе к 2. По графику определяем, что значение примерно равно 2,3.

Ответ: $\log_2 5 \approx 2,3$.

$\log_2 0,7$

На оси $Ox$ находим значение $x=0,7$. Оно находится между $x=0,5$ и $x=1$. Опускаем перпендикуляр от $x=0,7$ до пересечения с графиком. Мы знаем, что $\log_2 0,5 = -1$ и $\log_2 1 = 0$, следовательно, значение $\log_2 0,7$ находится между -1 и 0. Точка $x=0,7$ расположена ближе к $x=1$, чем к $x=0,5$. Проведя горизонтальную линию от точки на графике к оси $Oy$, получим значение примерно -0,5.

Ответ: $\log_2 0,7 \approx -0,5$.