Номер 830, страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

830. Решить уравнение:

1) $\log_3 (5x - 1) = 2;$

2) $\log_5 (3x + 1) = 2;$

3) $\log_4 (2x - 3) = 1;$

4) $\log_7 (x + 3) = 2;$

5) $\lg (3x - 1) = 0;$

6) $\lg (2 - 5x) = 1.$

1) $log_3(5x - 1) = 2$

Для решения логарифмического уравнения вида $log_a(b) = c$ используется основное логарифмическое тождество, согласно которому уравнение эквивалентно $b = a^c$. Важно также учесть область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

ОДЗ: $5x - 1 > 0 \Rightarrow 5x > 1 \Rightarrow x > 1/5$.

Преобразуем уравнение по определению логарифма:

$5x - 1 = 3^2$

$5x - 1 = 9$

$5x = 9 + 1$

$5x = 10$

$x = 10 / 5$

$x = 2$

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: $2 > 1/5$. Условие выполняется.

Ответ: $2$.

2) $log_5(3x + 1) = 2$

ОДЗ: $3x + 1 > 0 \Rightarrow 3x > -1 \Rightarrow x > -1/3$.

Преобразуем уравнение:

$3x + 1 = 5^2$

$3x + 1 = 25$

$3x = 25 - 1$

$3x = 24$

$x = 24 / 3$

$x = 8$

Проверяем ОДЗ: $8 > -1/3$. Условие выполняется.

Ответ: $8$.

3) $log_4(2x - 3) = 1$

ОДЗ: $2x - 3 > 0 \Rightarrow 2x > 3 \Rightarrow x > 3/2$ или $x > 1.5$.

Преобразуем уравнение:

$2x - 3 = 4^1$

$2x - 3 = 4$

$2x = 4 + 3$

$2x = 7$

$x = 7/2 = 3.5$

Проверяем ОДЗ: $3.5 > 1.5$. Условие выполняется.

Ответ: $3.5$.

4) $log_7(x + 3) = 2$

ОДЗ: $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$.

Преобразуем уравнение:

$x + 3 = 7^2$

$x + 3 = 49$

$x = 49 - 3$

$x = 46$

Проверяем ОДЗ: $46 > -3$. Условие выполняется.

Ответ: $46$.

5) $lg(3x - 1) = 0$

Запись $lg$ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $lg(a) = log_{10}(a)$.

ОДЗ: $3x - 1 > 0 \Rightarrow 3x > 1 \Rightarrow x > 1/3$.

Преобразуем уравнение:

$3x - 1 = 10^0$

Так как любое число в нулевой степени равно 1:

$3x - 1 = 1$

$3x = 1 + 1$

$3x = 2$

$x = 2/3$

Проверяем ОДЗ: $2/3 > 1/3$. Условие выполняется.

Ответ: $2/3$.

6) $lg(2 - 5x) = 1$

Уравнение можно записать как $log_{10}(2 - 5x) = 1$.

ОДЗ: $2 - 5x > 0 \Rightarrow 2 > 5x \Rightarrow x < 2/5$ или $x < 0.4$.

Преобразуем уравнение:

$2 - 5x = 10^1$

$2 - 5x = 10$

$-5x = 10 - 2$

$-5x = 8$

$x = -8/5 = -1.6$

Проверяем ОДЗ: $-1.6 < 0.4$. Условие выполняется.

Ответ: $-1.6$.