Номер 835, страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

835. Построить график функции, найти её область определения и множество значений:

1) $y = \log_3 (x - 1);$

2) $\log_{\frac{1}{3}} (x + 1);$

3) $y = 1 + \log_3 x;$

4) $y = \log_{\frac{1}{3}} x - 1;$

5) $y = 1 + \log_3 (x - 1).$

1) $y = \log_3(x - 1)$

График данной функции получается из графика базовой логарифмической функции $y = \log_3 x$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

Область определения функции $D(y)$:
Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому: $x - 1 > 0$
$x > 1$
$D(y) = (1, +\infty)$.

Множество значений функции $E(y)$:
Множество значений логарифмической функции — это все действительные числа. $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

Построение графика:
1. Вертикальная асимптота графика смещается из $x=0$ в $x=1$.
2. Найдем ключевые точки. Точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $\log_3(x-1) = 0 \implies x-1 = 3^0 \implies x-1=1 \implies x=2$. График проходит через точку $(2, 0)$.
3. Для другой точки возьмем $x=4$: $y = \log_3(4-1) = \log_3 3 = 1$. График проходит через точку $(4, 1)$.
4. Так как основание логарифма $3 > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: Область определения: $(1, +\infty)$. Множество значений: $(-\infty, +\infty)$. График функции — это график $y=\log_3 x$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Вертикальная асимптота: $x=1$.

2) $y = \log_{\frac{1}{3}}(x + 1)$

График данной функции получается из графика базовой функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ путем сдвига на 1 единицу влево вдоль оси Ox.

Область определения функции $D(y)$:
$x + 1 > 0$
$x > -1$
$D(y) = (-1, +\infty)$.

Множество значений функции $E(y)$:
$E(y) = (-\infty, +\infty)$.

Построение графика:
1. Вертикальная асимптота смещается из $x=0$ в $x=-1$.
2. Точка пересечения с осями координат ($x=0$): $y=\log_{\frac{1}{3}}(0+1)=\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$. График проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.
3. Для другой точки возьмем $x=2$: $y = \log_{\frac{1}{3}}(2+1) = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$. График проходит через точку $(2, -1)$.
4. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция является убывающей.

Ответ: Область определения: $(-1, +\infty)$. Множество значений: $(-\infty, +\infty)$. График функции — это график $y=\log_{\frac{1}{3}} x$, сдвинутый на 1 единицу влево. Вертикальная асимптота: $x=-1$.

3) $y = 1 + \log_3 x$

График данной функции получается из графика базовой функции $y = \log_3 x$ путем сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Область определения функции $D(y)$:
$x > 0$
$D(y) = (0, +\infty)$.

Множество значений функции $E(y)$:
$E(y) = (-\infty, +\infty)$.

Построение графика:
1. Вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) не изменяется.
2. Точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $1 + \log_3 x = 0 \implies \log_3 x = -1 \implies x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. График проходит через точку $(\frac{1}{3}, 0)$.
3. Исходная точка $(1, 0)$ графика $y=\log_3 x$ смещается в точку $(1, 1)$.
4. Функция возрастающая, так как основание $3 > 1$.

Ответ: Область определения: $(0, +\infty)$. Множество значений: $(-\infty, +\infty)$. График функции — это график $y=\log_3 x$, сдвинутый на 1 единицу вверх. Вертикальная асимптота: $x=0$.

4) $y = \log_{\frac{1}{3}} x - 1$

График данной функции получается из графика базовой функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ путем сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

Область определения функции $D(y)$:
$x > 0$
$D(y) = (0, +\infty)$.

Множество значений функции $E(y)$:
$E(y) = (-\infty, +\infty)$.

Построение графика:
1. Вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) не изменяется.
2. Точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $\log_{\frac{1}{3}} x - 1 = 0 \implies \log_{\frac{1}{3}} x = 1 \implies x = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$. График проходит через точку $(\frac{1}{3}, 0)$.
3. Исходная точка $(1, 0)$ графика $y=\log_{\frac{1}{3}} x$ смещается в точку $(1, -1)$.
4. Функция убывающая, так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$.

Ответ: Область определения: $(0, +\infty)$. Множество значений: $(-\infty, +\infty)$. График функции — это график $y=\log_{\frac{1}{3}} x$, сдвинутый на 1 единицу вниз. Вертикальная асимптота: $x=0$.

5) $y = 1 + \log_3(x - 1)$

График данной функции получается из графика базовой функции $y = \log_3 x$ путем двух преобразований: сдвиг на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и сдвиг на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Область определения функции $D(y)$:
$x - 1 > 0$
$x > 1$
$D(y) = (1, +\infty)$.

Множество значений функции $E(y)$:
$E(y) = (-\infty, +\infty)$.

Построение графика:
1. Вертикальная асимптота смещается в $x=1$.
2. Точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $1 + \log_3(x - 1) = 0 \implies \log_3(x - 1) = -1 \implies x-1 = 3^{-1} = \frac{1}{3} \implies x = 1\frac{1}{3}$. График проходит через точку $(1\frac{1}{3}, 0)$.
3. Исходная точка $(1,0)$ графика $y=\log_3 x$ после сдвигов переходит в точку $(1+1, 0+1) = (2, 1)$.
4. Функция возрастающая, так как основание $3 > 1$.

Ответ: Область определения: $(1, +\infty)$. Множество значений: $(-\infty, +\infty)$. График функции — это график $y=\log_3 x$, сдвинутый на 1 единицу вправо и на 1 единицу вверх. Вертикальная асимптота: $x=1$.