Номер 832, страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

832. Доказать, что функция $y = \log_2 (x^2 - 1)$ возрастает на промежутке $x > 1$.

Для доказательства того, что функция $y = \log_2(x^2 - 1)$ возрастает на промежутке $x > 1$, можно использовать два основных подхода: через определение возрастающей функции или с помощью производной. Рассмотрим оба метода.

Способ 1: Использование определения возрастающей функции и свойств композиции функций.

Представим данную функцию $y(x)$ как композицию двух функций: $y(x) = f(g(x))$, где:

• внутренняя функция: $g(x) = x^2 - 1$
• внешняя функция: $f(u) = \log_2(u)$

Функция является возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

1. Проанализируем монотонность внутренней функции $g(x) = x^2 - 1$ на промежутке $x > 1$.
Возьмём два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(1, \infty)$ так, что $x_1 < x_2$.Поскольку $x_1$ и $x_2$ положительны, при возведении в квадрат знак неравенства сохранится: $x_1^2 < x_2^2$.Вычтем 1 из обеих частей неравенства: $x_1^2 - 1 < x_2^2 - 1$.Это означает, что $g(x_1) < g(x_2)$. Следовательно, функция $g(x) = x^2 - 1$ является строго возрастающей на промежутке $(1, \infty)$.

2. Проанализируем монотонность внешней функции $f(u) = \log_2(u)$.
Это логарифмическая функция с основанием $a=2$. Так как основание $a > 1$, функция $f(u)$ является возрастающей на всей своей области определения ($u > 0$).При $x > 1$ значения внутренней функции $g(x) = x^2 - 1$ положительны, то есть $g(x) > 0$. Это значит, что область значений $g(x)$ на данном промежутке входит в область определения $f(u)$.

3. Заключение.
Исходная функция $y(x)$ является композицией двух возрастающих функций. Композиция двух возрастающих функций также является возрастающей функцией. Следовательно, функция $y = \log_2(x^2 - 1)$ возрастает на промежутке $x > 1$.

Способ 2: Использование производной.

Функция возрастает на промежутке, если ее производная на этом промежутке положительна ($y' > 0$).

1. Найдем производную функции $y = \log_2(x^2 - 1)$.
Для этого воспользуемся формулой производной логарифма $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.В нашем случае $a=2$ и $u = x^2 - 1$. Производная от $u$ равна $u' = (x^2 - 1)' = 2x$.Подставляем в формулу:$y' = \frac{2x}{(x^2 - 1) \ln 2}$

2. Определим знак производной на промежутке $x > 1$.
На этом промежутке:

• $x > 1$, следовательно числитель $2x$ положителен.
• $x > 1 \implies x^2 > 1 \implies x^2 - 1 > 0$.
• $\ln 2$ — положительная константа, так как $2 > 1$.

Знаменатель $(x^2 - 1) \ln 2$ является произведением двух положительных выражений, значит он тоже положителен.

3. Заключение.
Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны при $x > 1$, вся производная $y'$ положительна на этом промежутке. Следовательно, функция $y = \log_2(x^2 - 1)$ возрастает на промежутке $x > 1$.

Ответ: Утверждение доказано обоими способами.