Номер 825, страница 255 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

825. Построить график функции:

1) $y = \log_2 x$;

2) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$.

1) $y = \log_2 x$

Для построения графика функции $y = \log_2 x$ проанализируем ее основные свойства. Это логарифмическая функция, основание которой $a=2$. Так как основание $a > 1$, функция является возрастающей.

Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$. $D(y) = (0; +\infty)$.

Область значений: Множество всех действительных чисел. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Точка пересечения с осями: График пересекает ось абсцисс (Ox) в точке $(1; 0)$, так как $y = \log_2 1 = 0$. График не пересекает ось ординат (Oy).

Асимптота: Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$, значение $y \to -\infty$.

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, выбирая значения $x$ как степени числа 2 для удобства вычислений:
- при $x = 0.25$, $y = \log_2 0.25 = \log_2 (2^{-2}) = -2$; точка $(0.25; -2)$.
- при $x = 0.5$, $y = \log_2 0.5 = \log_2 (2^{-1}) = -1$; точка $(0.5; -1)$.
- при $x = 1$, $y = \log_2 1 = 0$; точка $(1; 0)$.
- при $x = 2$, $y = \log_2 2 = 1$; точка $(2; 1)$.
- при $x = 4$, $y = \log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2$; точка $(4; 2)$.
- при $x = 8$, $y = \log_2 8 = \log_2 (2^3) = 3$; точка $(8; 3)$.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Полученная кривая будет расположена справа от оси Oy, будет возрастать на всей своей области определения и приближаться к оси Oy в нижней части плоскости.

Ответ: График функции $y = \log_2 x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точку $(1; 0)$, с областью определения $x>0$ и вертикальной асимптотой $x=0$.

2) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

Для построения графика функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ рассмотрим ее свойства. Это логарифмическая функция, основание которой $a = \frac{1}{2}$. Так как основание $0 < a < 1$, функция является убывающей.

Область определения: $x > 0$. $D(y) = (0; +\infty)$.

Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Точка пересечения с осями: График пересекает ось Ox в точке $(1; 0)$, так как $y = \log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$. График не пересекает ось Oy.

Асимптота: Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$, значение $y \to +\infty$.

Можно также воспользоваться свойством логарифма: $y = \log_{\frac{1}{2}} x = \log_{2^{-1}} x = -\log_2 x$. Это означает, что график функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ симметричен графику $y = \log_2 x$ относительно оси Ox.

Найдем координаты нескольких точек для построения:
- при $x = 0.25$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 0.25 = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^2) = 2$; точка $(0.25; 2)$.
- при $x = 0.5$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 0.5 = 1$; точка $(0.5; 1)$.
- при $x = 1$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$; точка $(1; 0)$.
- при $x = 2$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$; точка $(2; -1)$.
- при $x = 4$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$; точка $(4; -2)$.
- при $x = 8$, $y = \log_{\frac{1}{2}} 8 = -3$; точка $(8; -3)$.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Полученная кривая будет расположена справа от оси Oy, будет убывать на всей своей области определения и приближаться к оси Oy в верхней части плоскости.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ — это убывающая кривая, проходящая через точку $(1; 0)$, с областью определения $x>0$ и вертикальной асимптотой $x=0$.