Номер 823, страница 255 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

823. Сравнить с единицей число x, если:

1) $log_3 x = -0,3;$

2) $log_{\frac{1}{3}} x = 1,7;$

3) $log_2 x = 1,3.$

1) Дано уравнение $log_3 x = -0,3$.

Чтобы сравнить число $x$ с единицей, мы можем сравнить значение его логарифма с логарифмом единицы по тому же основанию. Известно, что логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю: $log_3 1 = 0$.

Теперь сравним данное нам значение $log_3 x$ со значением $log_3 1$. У нас есть $log_3 x = -0,3$ и $log_3 1 = 0$. Так как $-0,3 < 0$, то мы можем записать неравенство: $log_3 x < log_3 1$.

Основание логарифма $a = 3$, и так как $3 > 1$, логарифмическая функция $y = log_3 x$ является возрастающей. Для возрастающей функции меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, из неравенства $log_3 x < log_3 1$ следует, что $x < 1$.

Ответ: $x < 1$.

2) Дано уравнение $log_{1/3} x = 1,7$.

Сравним $x$ с единицей. Для этого представим единицу в виде логарифма с основанием $1/3$: $log_{1/3} 1 = 0$.

Теперь сравним $log_{1/3} x$ и $log_{1/3} 1$. Нам дано $log_{1/3} x = 1,7$. Поскольку $1,7 > 0$, мы имеем неравенство: $log_{1/3} x > log_{1/3} 1$.

Основание логарифма $a = 1/3$. Так как $0 < 1/3 < 1$, логарифмическая функция $y = log_{1/3} x$ является убывающей. Для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Таким образом, из неравенства $log_{1/3} x > log_{1/3} 1$ следует, что $x < 1$.

Ответ: $x < 1$.

3) Дано уравнение $log_2 x = 1,3$.

Для сравнения $x$ с единицей воспользуемся тем, что $log_2 1 = 0$.

Сравним $log_2 x$ со значением $log_2 1$. Нам дано $log_2 x = 1,3$. Так как $1,3 > 0$, получаем неравенство: $log_2 x > log_2 1$.

Основание логарифма $a = 2$. Поскольку $2 > 1$, логарифмическая функция $y = log_2 x$ является возрастающей. Для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Следовательно, из неравенства $log_2 x > log_2 1$ следует, что $x > 1$.

Ответ: $x > 1$.